Hình học Riemann

Tính đầy đủ là cầu nối giữa cục bộ (một phương trình vi phân chỉ đảm bảo đường trắc địa tồn tại trong thời gian ngắn) và toàn cục (một không gian có tính chất tốt nơi khoảng cách hoạt động như trên một miền đóng, bị chặn của không gian thông thường, và nơi đường ngắn nhất mà bạn vẽ bằng tay luôn thực sự tồn tại).

(i) $\Rightarrow$ tồn tại đường trắc địa cực tiểu: cố định $p,q \in M$ và đặt $r = d(p,q)$. Mặt cầu metric nhỏ $S_\varepsilon(p)$ compact, nên hàm liên tục $x \mapsto d(x,q)$ đạt cực tiểu trên đó tại một điểm $x_0 = \gamma(\varepsilon)$, với $\gamma$ là đường trắc địa tốc độ đơn vị từ $p$ qua $x_0$ (xác định với mọi thời gian nhờ tính trắc địa đầy đủ). Ta chỉ ra $d(\gamma(\varepsilon),q) = r-\varepsilon$, rồi mở rộng điều này cho tập $A = \{t \in [0,r] : d(\gamma(t),q) = r-t\}$: $A$ khác rỗng và đóng theo tính liên tục, và lặp lại lập luận mặt cầu cực tiểu tương tự tại $\gamma(t_0)$ với mọi $t_0 \in A$, $t_0<r$, cho thấy $A$ cũng mở trong $[0,r]$, nên $A=[0,r]$ và $\gamma(r)=q$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): với một dãy Cauchy $(x_n)$ trong $M$, lập luận ở trên cho thấy hai điểm đủ gần nhau được nối bằng một đường trắc địa cực tiểu có độ dài bằng khoảng cách giữa chúng; một quả cầu metric đóng quanh một điểm cố định khi đó là ảnh liên tục của một quả cầu đóng trong $T_pM$ qua ánh xạ mũ, do đó compact, nên dãy Cauchy cuối cùng nằm trong một tập compact và hội tụ.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): tính đầy đủ metric cùng với tính compact địa phương (mọi đa tạp Riemann đều compact địa phương) kéo theo các quả cầu đóng là bị chặn toàn phần và đầy đủ, do đó compact theo đặc trưng chuẩn của tính compact trong không gian metric; một tập đóng và bị chặn tổng quát là một tập con đóng của một quả cầu đóng nào đó, nên compact vì là tập con đóng của một tập compact.

(iii) $\Rightarrow$ (i): giả sử một đường trắc địa tốc độ đơn vị $\gamma$ chỉ được xác định trên một khoảng cực đại $[0,T)$ với $T<\infty$. Khi $t \to T^-$, $\gamma(t)$ vẫn nằm trong quả cầu đóng bán kính $T$ quanh $\gamma(0)$, compact theo (iii); một dãy $\gamma(t_n)$ với $t_n \to T$ khi đó có một dãy con hội tụ, và lý thuyết tồn tại chuẩn cho phương trình vi phân trắc địa (một hệ bậc hai với hệ số trơn) cho thấy nghiệm mở rộng trơn qua $T$, mâu thuẫn với tính cực đại của $T$. Do đó mọi đường trắc địa mở rộng ra toàn bộ $\mathbb{R}$.

Độ cong Ricci dương có nghĩa là các đường trắc địa hội tụ trung bình, giống như trên mặt cầu; nếu sự hội tụ này đủ mạnh theo mọi hướng, một đường trắc địa không thể tiếp tục cực tiểu hóa khoảng cách mãi mãi — cuối cùng nó gặp một điểm liên hợp nơi một đường trắc địa lân cận bắt kịp nó, điều này giới hạn khoảng cách tối đa giữa hai điểm bất kỳ.

Theo định lý Hopf–Rinow, vì $M$ đầy đủ nên hai điểm bất kỳ được nối bằng một đường trắc địa cực tiểu. Giả sử phản chứng rằng một đường trắc địa cực tiểu tốc độ đơn vị nào đó $\gamma:[0,L]\to M$ có độ dài $L > \pi/\sqrt{k}$.

Vì $\gamma$ cực tiểu hóa độ dài, biến phân bậc hai (dạng chỉ số) thỏa $I(V,V) \geq 0$ với mọi trường vectơ trơn từng khúc $V$ dọc $\gamma$ triệt tiêu tại hai đầu mút, với $I(V,V) = \int_0^L \left(|V'|^2 - \langle R(V,\gamma')\gamma', V\rangle\right)dt$. Chọn một khung trực chuẩn song song $E_1,\dots,E_{n-1}$ dọc $\gamma$, luôn vuông góc với $\gamma'$, và thử với các trường $V_i(t) = \sin(\pi t/L)\,E_i(t)$ với $i=1,\dots,n-1$.

Vì $E_i$ song song, $V_i' = \frac{\pi}{L}\cos(\pi t/L)E_i$, nên $I(V_i,V_i) = \int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - \sin^2(\pi t/L)\langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle\right]dt$. Cộng theo $i$ và dùng $\sum_i \langle R(E_i,\gamma')\gamma',E_i\rangle = \mathrm{Ric}(\gamma',\gamma') \geq (n-1)k$ cho $\sum_i I(V_i,V_i) \leq (n-1)\int_0^L\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\cos^2(\pi t/L) - k\sin^2(\pi t/L)\right]dt$.

Vì $\int_0^L\cos^2(\pi t/L)\,dt = \int_0^L\sin^2(\pi t/L)\,dt = L/2$, vế phải bằng $(n-1)\cdot\frac{L}{2}\left[\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 - k\right]$, âm ngặt bất cứ khi nào $L > \pi/\sqrt{k}$. Vậy một $I(V_i,V_i) < 0$ nào đó, mâu thuẫn với việc $\gamma$ cực tiểu hóa độ dài. Do đó mọi đường trắc địa cực tiểu thỏa $L \leq \pi/\sqrt{k}$, nên $\mathrm{diam}(M) \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{k}}$; theo Hopf–Rinow, một đa tạp đầy đủ có đường kính hữu hạn thì compact, và cùng lập luận áp dụng cho không gian phủ phổ dụng (thừa hưởng cùng chặn dưới Ricci) cho thấy nó cũng compact, buộc $\pi_1(M)$ hữu hạn.