Định lý Gauss–Bonnet

Tam giác phân $M$ bằng các tam giác trắc địa (tam giác có các cạnh là đường ngắn nhất trên mặt), thu được $V$ đỉnh, $E$ cạnh và $F$ mặt, liên hệ bởi $\chi(M) = V - E + F$.

Công thức Gauss–Bonnet địa phương cho một tam giác trắc địa đơn $T$ với các góc trong $\alpha,\beta,\gamma$ phát biểu $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$: phần tổng các góc vượt quá giá trị Euclid $\pi$ chính xác bằng tích phân độ cong trên tam giác đó, một sự thật thu được bằng cách áp dụng định lý Stokes cho sự quay của một vectơ tiếp tuyến được chuyển dịch song song quanh biên của tam giác.

Cộng $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ trên toàn bộ $F$ tam giác cho $\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F$: các tam giác gặp nhau tại mỗi một trong $V$ đỉnh khớp lại quét đúng một vòng tròn đầy $2\pi$ tại đó, nên tổng mọi góc của chúng bằng $2\pi V$, trong khi mỗi tam giác trong số $F$ tam giác đóng góp một $-\pi$.

Mỗi tam giác có $3$ cạnh và mỗi cạnh được dùng chung bởi đúng $2$ tam giác, nên $3F = 2E$. Thay $E = \frac{3F}{2}$ vào $\chi(M) = V - E + F$ cho $2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F$, khớp chính xác với bước trước. Do đó $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$, chứng minh xong định lý.