Hình học vi phân

Điều này đáng ngạc nhiên vì $K$ vốn được định nghĩa bằng dạng cơ bản thứ hai, tức là dựa vào cách mặt uốn cong bên trong không gian xung quanh. Định lý của Gauss nói rằng độ cong thực chất là nội tại: một sinh vật hai chiều bị giới hạn trên mặt, không thể nhìn thấy không gian xung quanh, vẫn có thể tính được $K$ chỉ bằng cách đo độ dài và góc.

Làm việc trong hệ tọa độ mà $F=0$ tại điểm đang xét (một phép tham số hóa trực giao, luôn tồn tại tại địa phương). Lấy đạo hàm các đồng nhất thức $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ và $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$, rồi dùng $e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$, $g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ để biểu diễn $eg-f^2$ theo các đạo hàm bậc hai $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ chiếu lên $\mathbf{n}$.

Vì $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ tạo thành một cơ sở của không gian tại mỗi điểm, mọi đạo hàm bậc hai như $\mathbf{r}_{uu}$ đều có thể viết thành tổ hợp của $\mathbf{r}_u$, $\mathbf{r}_v$ và $\mathbf{n}$, với các hệ số tiếp tuyến là các ký hiệu Christoffel — những hàm chỉ được dựng từ $E, F, G$ và đạo hàm của chúng theo $u$ và $v$, thu được bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính sinh ra từ việc lấy đạo hàm $E, F, G$.

Thay các biểu thức này vào $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$ và so sánh với $eg-f^2$ từ các thành phần pháp tuyến, rồi rút gọn bằng các phương trình tương thích (phương trình Gauss), ta thu được công thức Brioschi: $K$ được biểu diễn thuần túy như một hàm hữu tỉ của $E, F, G$ cùng các đạo hàm riêng bậc một và bậc hai của chúng theo $u$ và $v$, không còn xuất hiện $e, f, g$ trong biểu thức cuối cùng.

Vì một phép đẳng cự giữa hai mặt, theo định nghĩa, là một ánh xạ đưa dạng cơ bản thứ nhất của mặt này khớp chính xác với dạng cơ bản thứ nhất của mặt kia (cùng $E, F, G$ như các hàm của tham số), và công thức Brioschi tính $K$ chỉ từ $E, F, G$, nên hai mặt phải có độ cong Gauss bằng nhau tại các điểm tương ứng. Điều này chứng minh định lý.

Định lý này liên kết một đại lượng hình học hoàn toàn cục bộ (độ cong, có thể thay đổi từ điểm này sang điểm khác) với một đại lượng tô pô hoàn toàn toàn cục (đặc trưng Euler, chỉ phụ thuộc vào cách mặt liên thông, không phụ thuộc vào hình dạng của nó). Dù bạn uốn, kéo giãn hay làm lõm một mặt như thế nào mà không xé rách nó, tổng độ cong $\int_M K\,dA$ vẫn không đổi.

Tam giác phân $M$ bằng các tam giác trắc địa (tam giác có các cạnh là đường ngắn nhất trên mặt), thu được $V$ đỉnh, $E$ cạnh và $F$ mặt, liên hệ bởi $\chi(M) = V - E + F$.

Công thức Gauss–Bonnet địa phương cho một tam giác trắc địa đơn $T$ với các góc trong $\alpha,\beta,\gamma$ phát biểu $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$: phần tổng các góc vượt quá giá trị Euclid $\pi$ chính xác bằng tích phân độ cong trên tam giác đó, một sự thật thu được bằng cách áp dụng định lý Stokes cho sự quay của một vectơ tiếp tuyến được chuyển dịch song song quanh biên của tam giác.

Cộng $\int_T K\,dA = \alpha+\beta+\gamma-\pi$ trên toàn bộ $F$ tam giác cho $\int_M K\,dA = 2\pi V - \pi F$: các tam giác gặp nhau tại mỗi một trong $V$ đỉnh khớp lại quét đúng một vòng tròn đầy $2\pi$ tại đó, nên tổng mọi góc của chúng bằng $2\pi V$, trong khi mỗi tam giác trong số $F$ tam giác đóng góp một $-\pi$.

Mỗi tam giác có $3$ cạnh và mỗi cạnh được dùng chung bởi đúng $2$ tam giác, nên $3F = 2E$. Thay $E = \frac{3F}{2}$ vào $\chi(M) = V - E + F$ cho $2\pi\chi(M) = 2\pi V - \pi F$, khớp chính xác với bước trước. Do đó $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$, chứng minh xong định lý.