Theorema Egregium (Định lý tuyệt diệu của Gauss)

Làm việc trong hệ tọa độ mà $F=0$ tại điểm đang xét (một phép tham số hóa trực giao, luôn tồn tại tại địa phương). Lấy đạo hàm các đồng nhất thức $\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}=0$ và $\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}=0$, rồi dùng $e = \mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$, $g = \mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$ để biểu diễn $eg-f^2$ theo các đạo hàm bậc hai $\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv}$ chiếu lên $\mathbf{n}$.

Vì $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v, \mathbf{n}\}$ tạo thành một cơ sở của không gian tại mỗi điểm, mọi đạo hàm bậc hai như $\mathbf{r}_{uu}$ đều có thể viết thành tổ hợp của $\mathbf{r}_u$, $\mathbf{r}_v$ và $\mathbf{n}$, với các hệ số tiếp tuyến là các ký hiệu Christoffel — những hàm chỉ được dựng từ $E, F, G$ và đạo hàm của chúng theo $u$ và $v$, thu được bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính sinh ra từ việc lấy đạo hàm $E, F, G$.

Thay các biểu thức này vào $\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{r}_{vv} - \mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{r}_{uv}$ và so sánh với $eg-f^2$ từ các thành phần pháp tuyến, rồi rút gọn bằng các phương trình tương thích (phương trình Gauss), ta thu được công thức Brioschi: $K$ được biểu diễn thuần túy như một hàm hữu tỉ của $E, F, G$ cùng các đạo hàm riêng bậc một và bậc hai của chúng theo $u$ và $v$, không còn xuất hiện $e, f, g$ trong biểu thức cuối cùng.

Vì một phép đẳng cự giữa hai mặt, theo định nghĩa, là một ánh xạ đưa dạng cơ bản thứ nhất của mặt này khớp chính xác với dạng cơ bản thứ nhất của mặt kia (cùng $E, F, G$ như các hàm của tham số), và công thức Brioschi tính $K$ chỉ từ $E, F, G$, nên hai mặt phải có độ cong Gauss bằng nhau tại các điểm tương ứng. Điều này chứng minh định lý.