Định lý công thức chỉnh hợp

Bước 1 (thiết lập các vị trí): gọi tên $k$ vị trí cần điền, theo thứ tự, là vị trí 1 đến vị trí $k$. Điền mỗi vị trí bằng một trong $n$ đối tượng, không dùng lại đối tượng đã đặt, là một công việc gồm $k$ bước liên tiếp.

Bước 2 (áp dụng quy tắc nhân): vị trí 1 có thể điền theo $n$ cách. Sau khi điền, một đối tượng đã dùng, nên vị trí 2 có $n-1$ cách, bất kể vị trí 1 đã chọn đối tượng nào. Tiếp tục như vậy, vị trí $k$ có $n-k+1$ cách, vì đã dùng $k-1$ đối tượng. Theo quy tắc nhân, tổng số cách là tích $n(n-1)\cdots(n-k+1)$.

Bước 3 (viết lại dưới dạng thương của giai thừa): nhân và chia cho phần đuôi bị thiếu $(n-k)!$ cho $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)\cdot (n-k)!}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$, đúng là $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Bước 4 (trường hợp riêng $k=n$): thay $k=n$ vào cho $A_n^n = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$ bằng cách dùng $0! = 1$, khôi phục lại số hoán vị $P_n = n!$.