Hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau

Trước hết, vì $I$ nằm trên cả $d_1$ và $d_2$ nên cả hai phép đối xứng đều giữ nguyên $I$. Lấy một điểm $M$ bất kỳ khác $I$, và đặt $M_1 = R_{d_1}(M)$ cùng $M' = R_{d_2}(M_1)$.

Vì $d_1$ là đường trung trực của $MM_1$ và $d_2$ là đường trung trực của $M_1M'$ nên ta có $IM = IM_1 = IM'$, tức là $M$ và $M' = R_{d_2}(M_1)$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $I$.

Gọi $\varphi_1$ là góc định hướng từ tia $\overrightarrow{IM}$ đến $\overrightarrow{Id_1}$, và $\varphi_2$ là góc định hướng từ $\overrightarrow{Id_1}$ đến $\overrightarrow{Id_2}$. Phép đối xứng qua $d_1$ biến $\overrightarrow{IM}$ thành $\overrightarrow{IM_1}$ bằng cách quay một góc $2\varphi_1$, và phép đối xứng qua $d_2$ biến $\overrightarrow{IM_1}$ thành $\overrightarrow{IM'}$ bằng cách quay một góc $2\varphi_2$. Cộng các góc định hướng ta được $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 2\varphi_1 + 2\varphi_2 = 2(\varphi_1 + \varphi_2) = 2\alpha$, không phụ thuộc vào $M$. Vậy mọi điểm đều được quay quanh $I$ một góc $2\alpha$, chứng tỏ hợp của hai phép đối xứng bằng $Q_{(I, 2\alpha)}$.