Hình học

Phép biến hình

Các ánh xạ của mặt phẳng như tịnh tiến, quay, đối xứng và vị tự, bảo toàn hoặc thay đổi tỉ lệ hình dạng.

Trực giácTrượt, xoay và co giãn hình

Hàng ngày bạn thấy các hình di chuyển mà không đổi kích thước (cuốn sách trượt trên bàn, bánh xe quay quanh trục) và các hình lớn lên hay nhỏ đi mà vẫn giữ nguyên hình dạng (một bức ảnh được phóng to để in, một cái bóng dài ra lúc hoàng hôn). Một phép biến hình là một quy tắc biến mỗi điểm $M$ của mặt phẳng thành một điểm mới $M'$ . Bốn phép biến hình cơ bản gặp ở trường phổ thông: phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng và phép vị tự, là những viên gạch để mô tả chính xác tính đối xứng, sự bằng nhau và sự đồng dạng.

Ma trận phép biến hình phẳng: khi

\det A = 1

với hai cột vuông góc (như

(0.8, 0.6)

và

(-0.6, 0.8)

), đó là phép quay thuần túy bảo toàn độ dài và diện tích; nhân tỉ lệ các cột tạo ra phép vị tự.

Phổ thôngBốn phép biến hình cơ bản

Định nghĩa: Phép tịnh tiến

Cho vectơ cố định $\vec{v} = (a, b)$ , phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ biến mỗi điểm $M(x, y)$ thành điểm $M'(x', y')$ thỏa mãn $\vec{MM'} = \vec{v}$ . Theo tọa độ, đây đơn giản là cộng các thành phần của vectơ vào mỗi điểm.

x' = x + a, \qquad y' = y + b

Ở đây $(x, y)$ là tọa độ của $M$ và $(x', y')$ là tọa độ ảnh $M'$ của nó; cặp $(a, b)$ là thành phần ngang và dọc của vectơ tịnh tiến $\vec{v}$ . Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách, góc và hướng: đó là một phép dời hình không bao giờ quay hay lật mặt phẳng.

Định nghĩa: Phép quay

Cố định tâm $I(a, b)$ và góc $\alpha$ . Phép quay $Q_{(I, \alpha)}$ biến $M$ thành điểm $M'$ sao cho $IM' = IM$ và góc từ $\overrightarrow{IM}$ đến $\overrightarrow{IM'}$ bằng $\alpha$ (đo theo chiều ngược kim đồng hồ).

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - a \\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Ma trận quay vectơ từ tâm $I(a, b)$ đến $M(x, y)$ theo góc $\alpha$ , rồi kết quả được dịch trở lại để phép quay thực sự giữ nguyên $I$ . Khi $\alpha$ bằng $180°$ , phép quay trùng với phép đối xứng tâm qua $I$ .

Định nghĩa: Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng $d$ , phép đối xứng trục $R_d$ biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn $MM'$ (các điểm trên $d$ là điểm bất động). Qua trục hoành, đây đơn giản là $R_{Ox}(x, y) = (x, -y)$ .

R_{Ox}(x, y) = (x, -y)

Định nghĩa: Phép vị tự

Cho tâm $I(a, b)$ và tỉ số $k \neq 0$ , phép vị tự $V_{(I, k)}$ biến $M$ thành điểm $M'$ với $\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}$ . Khác với ba phép biến hình trước, phép vị tự với $|k| \neq 1$ làm thay đổi độ dài, nên nó không phải là phép dời hình.

x' = a + k(x - a), \qquad y' = b + k(y - b)

Một ánh xạ thu được bằng cách hợp một phép dời hình (tịnh tiến, quay hoặc đối xứng trục) với một phép vị tự được gọi là phép đồng dạng: nó bảo toàn góc và nhân mọi độ dài với cùng tỉ số $|k|$ , do đó biến mọi hình thành một hình đồng dạng với nó.

So sánh bốn phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng
Phép biến hình	Công thức	Nhân khoảng cách với	Nhân diện tích với
Tịnh tiến	$x' = x + a, \qquad y' = y + b$	1 (bảo toàn)	1 (bảo toàn)
Quay	tâm $I$ , góc $\alpha$	1 (bảo toàn)	1 (bảo toàn)
Đối xứng trục	$R_{Ox}(x, y) = (x, -y)$	1 (bảo toàn)	1 (bảo toàn)
Vị tự $V_{(I, k)}$	$x' = a + k(x - a), \qquad y' = b + k(y - b)$	$\|k\|$	$k^2$

Đại họcHợp các phép biến hình và nhóm phép dời hình

Định lý: Hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $I$ sao cho góc định hướng từ $d_1$ đến $d_2$ là $\alpha$ . Khi đó hợp của phép đối xứng qua $d_1$ tiếp theo là phép đối xứng qua $d_2$ là phép quay tâm $I$ góc $2\alpha$ : $R_{d_2} \circ R_{d_1} = Q_{(I, 2\alpha)}$ .

Vì sao đúng?

Một phép đối xứng trục làm đảo hướng (bàn tay trái thành bàn tay phải), nên thực hiện hai phép đối xứng liên tiếp sẽ khôi phục hướng ban đầu và phải là một chuyển động cứng không lật hình. Vì giao điểm $I$ nằm trên cả hai gương nên không phép đối xứng nào làm dịch chuyển $I$ ; do đó chuyển động tổng hợp phải là một phép quay quanh $I$ , và mỗi gương đóng góp gấp đôi góc giữa điểm với gương đó.

Chứng minh

Trước hết, vì $I$ nằm trên cả $d_1$ và $d_2$ nên cả hai phép đối xứng đều giữ nguyên $I$ . Lấy một điểm $M$ bất kỳ khác $I$ , và đặt $M_1 = R_{d_1}(M)$ cùng $M' = R_{d_2}(M_1)$ .

Vì $d_1$ là đường trung trực của $MM_1$ và $d_2$ là đường trung trực của $M_1M'$ nên ta có $IM = IM_1 = IM'$ , tức là $M$ và $M' = R_{d_2}(M_1)$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $I$ .

Gọi $\varphi_1$ là góc định hướng từ tia $\overrightarrow{IM}$ đến $\overrightarrow{Id_1}$ , và $\varphi_2$ là góc định hướng từ $\overrightarrow{Id_1}$ đến $\overrightarrow{Id_2}$ . Phép đối xứng qua $d_1$ biến $\overrightarrow{IM}$ thành $\overrightarrow{IM_1}$ bằng cách quay một góc $2\varphi_1$ , và phép đối xứng qua $d_2$ biến $\overrightarrow{IM_1}$ thành $\overrightarrow{IM'}$ bằng cách quay một góc $2\varphi_2$ . Cộng các góc định hướng ta được $(\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IM'}) = 2\varphi_1 + 2\varphi_2 = 2(\varphi_1 + \varphi_2) = 2\alpha$ , không phụ thuộc vào $M$ . Vậy mọi điểm đều được quay quanh $I$ một góc $2\alpha$ , chứng tỏ hợp của hai phép đối xứng bằng $Q_{(I, 2\alpha)}$ .

Định lý: Tỉ số độ dài và diện tích qua phép vị tự

Qua phép vị tự $V_{(I, k)}$ tâm $I$ tỉ số $k \neq 0$ , với hai điểm bất kỳ $A, B$ có ảnh $A' = V_{(I,k)}(A)$ và $B' = V_{(I,k)}(B)$ , ta có $\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ và do đó $A'B' = |k|\cdot AB$ . Hệ quả là diện tích của mọi tam giác $ABC$ thay đổi theo bình phương tỉ số: $[A'B'C'] = k^2 \cdot [ABC]$ .

Vì sao đúng?

Vì mọi điểm đều được đẩy ra xa (hoặc kéo lại gần) tâm $I$ theo cùng hệ số $k$ , tam giác tạo bởi $I$ và hai điểm bất kỳ $A, B$ được phóng đều ở cả hai cạnh bên, nên theo định lý Thales cạnh thứ ba $A'B'$ luôn song song với $AB$ và nhân độ dài với $|k|$ . Diện tích là đại lượng hai chiều (đáy nhân chiều cao), và vì cả đáy lẫn chiều cao đều nhân với $|k|$ nên tích của chúng nhân với $|k| \cdot |k| = k^2$ .

Chứng minh

Theo định nghĩa phép vị tự, $\overrightarrow{IA'} = k\,\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB'} = k\,\overrightarrow{IB}$ . Trừ phương trình vectơ thứ hai khỏi phương trình thứ nhất ta được $\overrightarrow{IA'} - \overrightarrow{IB'} = k(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB})$ .

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BA}$ cho cả hai vế, ta thu được $\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ . Lấy độ dài hai vế lập tức cho $A'B' = |\overrightarrow{B'A'}| = |k| \cdot |\overrightarrow{BA}| = |k| \cdot AB$ .

Bây giờ xét tam giác bất kỳ $ABC$ . Đường cao $h$ hạ từ $C$ xuống đường thẳng $AB$ là khoảng cách giữa $C$ và hình chiếu vuông góc $H$ của nó trên $AB$ . Vì phép vị tự bảo toàn tính song song và góc nên nó bảo toàn tính vuông góc, do đó $H' = V_{(I,k)}(H)$ là chân đường cao của $A'B'C'$ . Như vậy cả cạnh đáy $A'B' = |k|\cdot AB$ lẫn đường cao $C'H' = |k|\cdot CH$ đều nhân với $|k|$ , suy ra $[A'B'C'] = \tfrac{1}{2} A'B' \cdot C'H' = |k|^2 \cdot \tfrac{1}{2} AB \cdot CH = k^2 \cdot [ABC]$ .

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Các phép biến hình là ngôn ngữ hàng ngày của đồ họa máy tính (mỗi khung hình của trò chơi 2D hay 3D đều nhân ma trận tịnh tiến, quay và co giãn cho hàng nghìn đỉnh trên GPU), rô-bốt học (vị trí bàn tay rô-bốt là hợp của các phép quay tại từng khớp), tinh thể học (các nguyên tử trong mạng tinh thể lặp lại theo một nhóm rời rạc gồm các phép tịnh tiến, quay và đối xứng) và bản đồ học (phép chiếu bản đồ và thước vẽ phóng dùng phép vị tự để thu phóng địa hình chính xác).

Ví dụ: Quay cảm biến rô-bốt một góc 90 độ

Cổ tay của một rô-bốt phẳng quay quanh gốc tọa độ $O(0, 0)$ . Một cảm biến laser gắn trên bàn tay hiện ở điểm $P(3, 4)$ . Tìm tọa độ mới $P'(x', y')$ của cảm biến sau khi cổ tay quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $\alpha = 90°$ .

Lời giải

Áp dụng công thức phép quay quanh gốc tọa độ $(a, b) = (0, 0)$ với $\alpha = 90°$ : $x' = x\cos 90° - y\sin 90°$ và $y' = x\sin 90° + y\cos 90°$ .

Vì $\cos 90° = 0$ và $\sin 90° = 1$ , công thức rút gọn thành quy tắc quay một phần tư vòng quen thuộc $(x', y') = (-y, x)$ .

Thay $(x, y) = (3, 4)$ ta được $P' = (-4, 3)$ . Chú ý rằng khoảng cách tới tâm quay được bảo toàn: $OP' = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5 = OP$ .

Ví dụ: Phóng to bản vẽ kiến trúc bằng phép vị tự

Trên lưới tọa độ có tâm tại góc sân $I(1, 2)$ , một cây cột nằm ở $A(4, 6)$ và một bồn hoa hình tam giác có diện tích $S = 5$ . Kiến trúc sư phóng to bản vẽ bằng phép vị tự $V_{(I, 3)}$ tâm $I(1, 2)$ tỉ số $k = 3$ . Tìm tọa độ mới $A'$ của cây cột và diện tích mới $S'$ của bồn hoa.

Lời giải

Áp dụng công thức tọa độ của phép vị tự $x' = a + k(x - a)$ , $y' = b + k(y - b)$ với tâm $(a, b) = (1, 2)$ , điểm $(x, y) = (4, 6)$ và tỉ số $k = 3$ .

Ta tính được $x' = 1 + 3(4 - 1) = 10$ và $y' = 2 + 3(6 - 2) = 14$ , nên cây cột chuyển tới $A'(10, 14)$ .

Theo định lý tỉ số diện tích, diện tích được nhân với $k^2 = 3^2 = 9$ , do đó bồn hoa sau khi phóng to có diện tích $S' = 9 \cdot 5 = 45$ .

Ảnh của điểm $M(3, -2)$ qua phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ theo vectơ $\vec{v} = (-1, 5)$ là điểm nào?

Ảnh của điểm $M(0, 2)$ qua phép quay ngược chiều kim đồng hồ $Q_{(O, 90°)}$ quanh gốc tọa độ là điểm nào?

Hai đường thẳng gương $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $I$ với góc định hướng từ $d_1$ đến $d_2$ bằng $35°$ . Thực hiện đối xứng qua $d_1$ rồi đối xứng qua $d_2$ tương đương với một phép biến hình duy nhất nào?

Một công viên có diện tích bằng $6$ trên bản đồ thành phố. Nếu bản đồ được biến đổi bởi phép vị tự $V_{(O, -4)}$ với tỉ số $k = -4$ , diện tích ảnh của công viên là bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry
Wikipedia contributors (2026). Geometric transformation — Wikipedia