Tiêu chuẩn tích phân

Bước 1 (chặn mỗi số hạng bằng một dải của tích phân). Vì $f(x)$ giảm, với mọi số nguyên $n\ge1$ và $x\in[n,n+1]$ ta có $f(n+1)\le f(x)\le f(n)$. Lấy tích phân trên khoảng đơn vị đó cho $f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)$.

Bước 2 (cộng các chặn). Cộng bất đẳng thức bên phải với $n=1,\dots,N$ cho $\int_1^{N+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N}a_n=S_N$; cộng bất đẳng thức bên trái với $n=1,\dots,N-1$ cho $S_N-a_1\le\int_1^{N}f(x)\,dx$. Vậy tổng riêng $S_N$ bị kẹp giữa hai tích phân trên các khoảng đều tăng như $[1,N]$.

Bước 3 (sự hội tụ truyền theo một chiều). Nếu $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ hội tụ, thì $\int_1^{N}f(x)\,dx$ bị chặn trên khi $N\to\infty$, nên theo Bước 2 dãy tăng $S_N$ bị chặn trên, và một dãy số thực tăng bị chặn luôn hội tụ (một dạng của tính chất hội tụ đơn điệu của $\mathbb{R}$); do đó $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ hội tụ.

Bước 4 (sự phân kỳ truyền theo chiều ngược lại). Ngược lại, nếu $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ phân kỳ (tăng không giới hạn), thì $\int_1^{N+1}f(x)\,dx\to\infty$ khi $N\to\infty$, và theo bất đẳng thức đầu ở Bước 2, $S_N$ bị chặn dưới bởi một đại lượng tiến tới vô cực, nên $S_N$ cũng phân kỳ ra vô cực. Kết hợp Bước 3 và 4 cho mệnh đề 'khi và chỉ khi' đầy đủ.