Mức ý nghĩa chính xác của kiểm định z hai phía

Bước 1 (phân phối của $Z$ khi $H_0$ đúng): vì $X_1, \ldots, X_n$ độc lập cùng phân phối $N(\mu_0, \sigma^2)$, trung bình mẫu $\bar{X}$ có phân phối $N(\mu_0, \sigma^2/n)$, nên chuẩn hóa cho $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ chính xác.

Bước 2 (xác suất của biến cố bác bỏ): biến cố bác bỏ là $|Z| > z_{\alpha/2}$, chia thành hai biến cố rời nhau $Z > z_{\alpha/2}$ và $Z < -z_{\alpha/2}$, nên $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2}) + P(Z < -z_{\alpha/2})$.

Bước 3 (dùng tính đối xứng của phân phối chuẩn tắc): mật độ chuẩn tắc đối xứng qua $0$, nên $P(Z < -z_{\alpha/2}) = P(Z > z_{\alpha/2})$; theo định nghĩa của $z_{\alpha/2}$, mỗi xác suất này bằng $\alpha/2$.

Bước 4 (cộng hai phần): thay vào Bước 2, $P(|Z| > z_{\alpha/2}) = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$, và vì xác suất này được tính chính xác khi $H_0$ đúng (dùng Bước 1), $P(\text{reject } H_0 \mid H_0) = \alpha$ chính xác, như đã phát biểu.