Bổ đề Neyman–Pearson

Bước 1 (thiết lập một phép kiểm định cạnh tranh bất kỳ): cho $C$ là miền bác bỏ theo tỉ số hợp lý trong phát biểu, với hàm chỉ báo $\phi_C$, và cho $D$ là miền bác bỏ của bất kỳ phép kiểm định nào khác với $P(D \mid H_0) \leq \alpha$, với hàm chỉ báo $\phi_D$. Ta cần chỉ ra lực tại $\theta_1$ thỏa $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$.

Bước 2 (một bất đẳng thức điểm-theo-điểm then chốt): với mọi kết cục $x$, đại lượng $(\phi_C(x) - \phi_D(x)) \cdot (L(\theta_1) - k \, L(\theta_0))$ không bao giờ âm. Thật vậy, nếu $x \in C$ thì $L(\theta_1) > k \, L(\theta_0)$ và $\phi_C(x) - \phi_D(x) \geq 0$ vì $\phi_C(x) = 1$; nếu $x \notin C$ thì $L(\theta_1) \leq k \, L(\theta_0)$ và $\phi_C(x) - \phi_D(x) \leq 0$ vì $\phi_C(x) = 0$; trong cả hai trường hợp tích của hai thừa số là $\geq 0$.

Bước 3 (lấy tổng bất đẳng thức): cộng (hay lấy tích phân) đại lượng không âm này trên mọi kết cục $x$ cho $\sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_1) - k \sum_x (\phi_C(x) - \phi_D(x)) \, L(\theta_0) \geq 0$, viết lại thành $\big(P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1)\big) - k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$.

Bước 4 (dùng các mức ý nghĩa để kết luận): theo cách dựng $P(C \mid H_0) = \alpha$, và theo giả thiết $P(D \mid H_0) \leq \alpha$, nên $P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0) \geq 0$; vì $k \geq 0$, trừ đi $k$ lần một đại lượng không âm ở dấu ngoặc đầu của Bước 3 chỉ làm bất đẳng thức mạnh thêm $P(C \mid H_1) - P(D \mid H_1) \geq k \big(P(C \mid H_0) - P(D \mid H_0)\big) \geq 0$, nên $P(C \mid H_1) \geq P(D \mid H_1)$, như cần chứng minh.