Ảnh hưởng của phép biến đổi tuyến tính lên trung bình và độ lệch chuẩn

Với trung bình: $\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$, dùng $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ và $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$.

Với độ phân tán, trước tiên chú ý $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$: độ dịch hằng số $b$ triệt tiêu hoàn toàn, chỉ còn lại độ lệch đã được nhân lên.

Bình phương rồi lấy trung bình, $s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$. Lấy căn bậc hai hai vế cho $s_y = |a|s_x$, vì căn bậc hai luôn không âm.