Xác suất và Thống kê

Thống kê mô tả

Tóm tắt dữ liệu bằng các đại lượng như trung bình, trung vị, độ lệch chuẩn, và trình bày bằng biểu đồ.

Trực giácTrực giác: Kể câu chuyện của dữ liệu bằng vài con số

Hãy tưởng tượng một giáo viên có 30 điểm kiểm tra, hoặc một chủ cửa hàng có doanh số một tháng theo từng ngày. Không ai muốn nhìn chằm chằm vào 30 con số riêng lẻ để hiểu chuyện gì đã xảy ra. Thống kê mô tả nén cả một bộ dữ liệu thành một vài con số — một giá trị điển hình, mức độ phân tán của các giá trị — để ta có thể so sánh, tóm tắt và phát hiện điều bất thường chỉ bằng một cái nhìn.

Một phân phối đếm lệch phải (Poisson với tham số

\lambda = np

): tăng

n

hoặc

p

để thấy trọng tâm dịch sang phải và hình dáng trở nên đối xứng hơn.

Phổ thôngĐo trung tâm: Trung bình, Trung vị, Mốt

Định nghĩa: Trung bình

Trung bình (hay số trung bình) của $n$ giá trị dữ liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là tổng của tất cả chúng chia cho số lượng giá trị. Nó dùng đến mọi giá trị trong bộ dữ liệu, nên nhạy cảm với các giá trị bất thường lớn hoặc nhỏ.

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Ở đây $\bar x$ là trung bình, $n$ là số lượng giá trị dữ liệu, và $x_i$ là giá trị thứ $i$ được cộng vào. Dấu gạch ngang trên $x$ là ký hiệu chuẩn cho "trung bình của $x$ ".

Định nghĩa: Trung vị và Mốt

Trung vị là giá trị ở giữa khi dữ liệu được sắp xếp từ nhỏ đến lớn (hoặc trung bình của hai giá trị giữa, nếu $n$ chẵn). Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Không giống trung bình, trung vị bỏ qua việc các giá trị cực trị cách xa bao nhiêu — chỉ thứ hạng của chúng mới quan trọng — điều này khiến nó chống chịu được với giá trị ngoại lai.

Vậy nên dùng đại lượng nào? Nếu dữ liệu tương đối đối xứng và không có giá trị cực trị, trung bình hiệu quả và dùng hết mọi thông tin. Nếu dữ liệu có giá trị ngoại lai hoặc bị lệch nặng — như thu nhập hộ gia đình hay giá nhà — trung vị cho một giá trị "điển hình" đại diện hơn.

So sánh trung bình, trung vị và mốt
Đại lượng	Định nghĩa	Có nhạy với ngoại lai?
Trung bình	Tổng các giá trị chia cho số lượng	Có — mọi giá trị đều được tính
Trung vị	Giá trị ở giữa khi đã sắp xếp	Không — chỉ thứ hạng quan trọng
Mốt	Giá trị xuất hiện nhiều nhất	Không

Phổ thôngĐo độ phân tán: Độ lệch chuẩn và Tứ phân vị

Hai bộ dữ liệu có thể có cùng trung bình nhưng trông hoàn toàn khác nhau — một bộ tập trung chặt chẽ, một bộ phân tán rộng. Độ lệch chuẩn $s$ nắm bắt điều này bằng cách đo khoảng cách điển hình của một giá trị dữ liệu tới trung bình:

s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

Mỗi độ lệch $x_i-\bar x$ được bình phương (để độ lệch âm và dương không triệt tiêu nhau), lấy trung bình, rồi căn bậc hai đưa đơn vị trở về thang đo gốc của dữ liệu. $s$ nhỏ nghĩa là dữ liệu tập trung chặt quanh $\bar x$ ; $s$ lớn nghĩa là nó phân tán rộng.

IQR = Q_3 - Q_1

Tứ phân vị chia dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: $Q_1$ (đi được 25% chặng đường), trung vị (50%), và $Q_3$ (75%). Khoảng tứ phân vị $IQR = Q_3-Q_1$ đo độ phân tán của nửa giữa dữ liệu và, giống trung vị, chống chịu được giá trị ngoại lai — đây chính xác là điều một biểu đồ hộp vẽ ra: một hộp từ $Q_1$ đến $Q_3$ với một đường tại trung vị.

Định lý: Tổng các độ lệch so với trung bình bằng không

Với mọi bộ dữ liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$ có trung bình $\bar x$ , $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = 0$ .

Vì sao đúng?

Trung bình được định nghĩa chính xác như điểm cân bằng của dữ liệu — hãy nghĩ tới một bập bênh với các quả cân tại mỗi $x_i$ — nên các giá trị trên trung bình phải cân bằng chính xác với các giá trị dưới nó, nếu không $\bar x$ đã không phải là điểm cân bằng.

Chứng minh

Khai triển tổng bằng cách phân phối: $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$ . Tổng thứ hai cộng hằng số $\bar x$ với chính nó $n$ lần, nên $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$ .

Theo định nghĩa, $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ , nên nhân cả hai vế với $n$ ta được $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$ . Đây chính xác là cùng đại lượng với tổng thứ nhất trong khai triển ở trên.

Thay lại, $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$ , điều này chứng minh khẳng định.

Định lý: Ảnh hưởng của phép biến đổi tuyến tính lên trung bình và độ lệch chuẩn

Nếu một bộ dữ liệu mới được tạo bởi $y_i = ax_i+b$ với các hằng số $a,b$ , thì $\bar y = a\bar x+b$ và độ lệch chuẩn mới là $s_y = |a|s_x$ .

Vì sao đúng?

Dịch mỗi điểm dữ liệu cùng một lượng $b$ sẽ dịch trung bình đi cùng lượng đó nhưng không thay đổi mức độ phân tán tương đối giữa các điểm; nhân mỗi điểm với $a$ sẽ nhân cả trung bình và độ phân tán với $a$ (dùng $|a|$ vì độ phân tán không thể âm).

Chứng minh

Với trung bình: $\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) = \frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = a\bar x + b$ , dùng $\frac{1}{n}\sum x_i = \bar x$ và $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b = b$ .

Với độ phân tán, trước tiên chú ý $y_i-\bar y = (ax_i+b)-(a\bar x+b) = a(x_i-\bar x)$ : độ dịch hằng số $b$ triệt tiêu hoàn toàn, chỉ còn lại độ lệch đã được nhân lên.

Bình phương rồi lấy trung bình, $s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar x)^2 = a^2 s_x^2$ . Lấy căn bậc hai hai vế cho $s_y = |a|s_x$ , vì căn bậc hai luôn không âm.

Phổ thôngỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Thống kê mô tả có mặt khắp nơi: một nhà phân tích thể thao so sánh trung bình đánh bóng với trung bình toàn giải, một nhà máy theo dõi độ lệch chuẩn của kích thước chi tiết để phát hiện vấn đề chất lượng, một cơ quan thời tiết báo cáo lượng mưa trung vị vì một năm lũ lụt duy nhất sẽ làm méo trung bình, và một công ty báo cáo doanh thu theo quý cùng với một giá trị điển hình và một thước đo biến động.

Ví dụ: Một giá trị ngoại lai làm lệch trung bình

Một gia sư ghi lại 6 điểm kiểm tra: $5, 6, 7, 7, 8, 9$ . Ở bài kiểm tra cuối, một lỗi nhập liệu thay $9$ bằng $50$ . So sánh trung bình và trung vị trước và sau lỗi này.

Lời giải

Trước lỗi: trung bình là $\frac{5+6+7+7+8+9}{6} = \frac{42}{6} = 7$ , và sắp xếp dữ liệu $5,6,7,7,8,9$ cho trung vị $\frac{7+7}{2}=7$ (trung bình của hai giá trị giữa). Trung bình và trung vị khá gần nhau.

Sau lỗi, dữ liệu trở thành $5,6,7,7,8,50$ . Trung bình giờ là $\frac{5+6+7+7+8+50}{6} = \frac{83}{6} \approx 13.83$ — bị kéo lên rất cao bởi một giá trị sai duy nhất.

Dữ liệu đã sắp xếp vẫn là $5,6,7,7,8,50$ , nên trung vị vẫn là $\frac{7+7}{2}=7$ , hoàn toàn không bị ảnh hưởng. Đây chính xác là lý do trung vị được ưa chuộng khi bộ dữ liệu có thể chứa lỗi nhập liệu hoặc giá trị ngoại lai cực đoan.

Ví dụ: So sánh độ ổn định bằng độ lệch chuẩn

Hai cầu thủ ghi điểm trong 5 trận. Cầu thủ A: $9, 10, 11, 12, 13$ . Cầu thủ B: $1, 6, 11, 16, 21$ . Cả hai có cùng trung bình, nhưng cầu thủ nào ổn định hơn? Tính độ lệch chuẩn của mỗi người để so sánh.

Lời giải

Cả hai bộ dữ liệu đều có trung bình $11$ : với A, $\frac{9+10+11+12+13}{5}=\frac{55}{5}=11$ ; với B, $\frac{1+6+11+16+21}{5}=\frac{55}{5}=11$ .

Với cầu thủ A, độ lệch so với $11$ là $-2,-1,0,1,2$ , bình phương $4,1,0,1,4$ tổng lại là $10$ , nên phương sai là $\frac{10}{5}=2$ và độ lệch chuẩn là $s_A=\sqrt{2}\approx 1.41$ .

Với cầu thủ B, độ lệch là $-10,-5,0,5,10$ , bình phương $100,25,0,25,100$ tổng lại là $250$ , nên phương sai là $\frac{250}{5}=50$ và $s_B=\sqrt{50}\approx 7.07$ . Vì $s_A < s_B$ , cầu thủ A ghi điểm ổn định hơn nhiều dù cả hai đều trung bình $11$ điểm mỗi trận.

Tính trung bình của bộ dữ liệu $2, 4, 4, 6, 9$ .

Đại lượng đo xu hướng trung tâm nào ít bị ảnh hưởng nhất bởi một giá trị ngoại lai cực đoan duy nhất trong dữ liệu?

Với bộ dữ liệu $1, 2, 3, 4, 5$ , độ lệch chuẩn $s$ bằng bao nhiêu?

Một biểu đồ hộp của thời gian giao hàng (phút) cho thấy $Q_1=20$ và $Q_3=35$ . Khoảng tứ phân vị bằng bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

David Freedman, Robert Pisani, Roger Purves (2007). Statistics
David S. Moore, William I. Notz (2020). The Basic Practice of Statistics