Định lý Liouville

Bước 1 (công thức Cartan). Với mọi trường vector $X$ và dạng $\omega$, công thức Cartan cho $\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$. Áp dụng với $X$ bằng $X_H$: vì $\omega$ đóng nên $d\omega=0$, và vì $\iota_{X_H}\omega=dH$ theo định nghĩa trường vector Hamilton, ta được $\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$.

Bước 2 (bản thân dạng không đổi). Vi phân ngoài thỏa $d\circ d=0$ với mọi hàm, nên $d(dH)=0$. Do đó $\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$: dòng chảy Hamilton bảo toàn chính dạng symplectic, không chỉ thể tích của nó.

Bước 3 (chuyển sang lũy thừa cao nhất). Dạng thể tích là $\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$ (gồm $n$ thừa số). Quy tắc Leibniz cho đạo hàm Lie trên tích ngoài cho $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$, và vì $\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$ theo Bước 2, vế phải triệt tiêu: $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$.

Bước 4 (tích phân theo dòng chảy). Nếu $\phi_t$ là dòng chảy của $X_H$, thì $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$ chính xác có nghĩa là $\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$ với mọi $t$. Vì $\phi_0=\mathrm{id}$ cho $\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$, tích phân cho thấy $\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$ với mọi $t$, đó chính là định lý Liouville.