Bất đẳng thức tam giác ngược (cực đại hóa thời gian riêng)

**Bước 1 (chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với $\gamma_0$).** Vì $\gamma_0$ là một đường thẳng kiểu thời gian, ta có thể chọn một hệ tọa độ quán tính $(t,x,y,z)$ trong đó $\gamma_0$ đứng yên tại gốc không gian: $p=(0,\mathbf 0)$, $q=(T,\mathbf 0)$ với $T>0$, và $\gamma_0(t)=(t,\mathbf 0)$ với $t\in[0,T]$. Vì mêtric $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ bất biến dưới các phép biến đổi Lorentz, thời gian riêng của mọi đường cong đều như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.

**Bước 2 (tính $\tau(\gamma_0)$).** Dọc theo $\gamma_0$ vận tốc không gian là $\mathbf v(t)=\mathbf 0$, nên $$\tau(\gamma_0) = \int_0^T \sqrt{1 - 0/c^2}\,dt = T.$$

**Bước 3 (tham số hóa đường cong cạnh tranh $\gamma$).** Mọi đường cong kiểu thời gian hướng tới tương lai $\gamma$ đi từ $p$ đến $q$ đều có $dt/d\lambda > 0$ tại mọi nơi (vì $c^2 dt^2 > |d\mathbf x|^2 \ge 0$), nên ta có thể tham số hóa nó theo thời gian tọa độ $t\in[0,T]$ dưới dạng $\gamma(t)=(t,\mathbf x(t))$ với $\mathbf x(0)=\mathbf x(T)=\mathbf 0$ và vận tốc $\mathbf v(t)=d\mathbf x/dt$ thỏa $|\mathbf v(t)|<c$. Thời gian riêng trôi qua của nó là $\tau = \int \sqrt{1 - v(t)^2/c^2}\,dt$ trên $[0,T]$.

Bước 4 (chặn từng điểm và điều kiện dấu bằng). Với mọi $t\in[0,T]$, $|\mathbf v(t)|^2\ge0$ kéo theo $0 < \sqrt{1 - |\mathbf v(t)|^2/c^2} \le 1$, dấu bằng tại một $t$ xảy ra khi và chỉ khi $\mathbf v(t)=\mathbf 0$. Lấy tích phân trên $[0,T]$, $$\tau(\gamma) = \int_0^T \sqrt{1 - \frac{|\mathbf v(t)|^2}{c^2}}\,dt \le \int_0^T 1\,dt = T = \tau(\gamma_0).$$ Vì hàm dưới dấu tích phân liên tục và $\le 1$, đẳng thức $\tau(\gamma)=T$ xảy ra khi và chỉ khi $\mathbf v(t)=\mathbf 0$ với mọi $t\in[0,T]$; kết hợp với $\mathbf x(0)=\mathbf 0$ điều này buộc $\mathbf x(t)\equiv\mathbf 0$, tức $\gamma=\gamma_0$.