単調収束定理

$\int f_n\,d\mu$ は($f_n$ が増加するため)拡張実数値の非減少列であるから、極限 $L := \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ は $[0,\infty]$ に存在する。すべての $n$ について $f_n \le f$ であるから、積分の単調性より、任意の $n$ について $\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$ が成り立ち、よって $L \le \int f\,d\mu$ である。

逆向きの不等式を示すため、$0 \le s \le f$ を満たす任意の単関数 $s$ と定数 $c \in (0,1)$ を固定する。$E_n = \{x : f_n(x) \ge c\,s(x)\}$ とおく。$f_n$ は各点で $f \ge s$ に増加するので、$E_n$ は増加し、その和集合は(ほとんど)$X$ 全体になる:$s(x)=0$ であるほとんどすべての $x$ ではこれは自明であり、$s(x)>0$ であるほとんどすべての $x$ では、$f_n(x)\to f(x) \ge s(x) > c\,s(x)$ であるからやがて $f_n(x) > c\,s(x)$ となる。

$s = \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k}$ と書けば、$\int f_n\,d\mu \ge \int_{E_n} f_n\,d\mu \ge c\int_{E_n} s\,d\mu = c\sum_k c_k\,\mu(E_k \cap E_n)$ を得る。可算加法性(測度の下からの連続性、$E_n$ が $X$ に増加するため)により $n\to\infty$ で $\mu(E_k \cap E_n) \to \mu(E_k)$ となるので、$n\to\infty$ とすると $L \ge c\sum_k c_k\,\mu(E_k) = c\int s\,d\mu$ を得る。

$c \to 1$ とすれば、任意の単関数 $s \le f$ に対して $L \ge \int s\,d\mu$ となり、そのようなすべての $s$ にわたる上限(まさに $\int f\,d\mu$ の定義)をとれば $L \ge \int f\,d\mu$ を得る。上で示した $L \le \int f\,d\mu$ と合わせて $L = \int f\,d\mu$ が結論される。