Định lý ergodic từng điểm của Birkhoff

Bước 1 (limsup và liminf bất biến). Đặt $f^*(x)=\limsup_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ và $f_*(x)=\liminf_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$. Vì $S_{n+1}f(x) = f(x) + S_nf(Tx)$, chia cho $n+1$ và cho $n\to\infty$ cho thấy $f^*(Tx)=f^*(x)$ và $f_*(Tx)=f_*(x)$: cả hai đều là hàm bất biến qua $T$.

Bước 2 (định lý ergodic cực đại). Với $\lambda\in\mathbb R$, đặt $A_\lambda=\{x: \sup_n S_nf(x)/n>\lambda\}$ là tập nơi trung bình thời gian chạy từng vượt quá $\lambda$. Bổ đề kỹ thuật then chốt (chứng minh bằng cách xét $g=f-\lambda$ và cực đại của các tổng riêng $M_n(x)=\max(0,S_1g(x),\dots,S_ng(x))$, sau đó dùng $M_n(Tx)\ge S_kg(Tx)$ theo từng số hạng và lấy tích phân trên tập nơi $M_n>0$) cho $\int_{A_\lambda} f\,d\mu \ge \lambda\,\mu(A_\lambda)$.

Bước 3 (ép f và f_ lại gần nhau). Giả sử phản chứng rằng $f^*>f_*$ trên một tập có độ đo dương; khi đó tồn tại các số hữu tỉ $\alpha<\beta$ với $E=\{x: f_*(x)<\alpha<\beta<f^*(x)\}$ có độ đo dương. $E$ bất biến qua $T$ (vì $f^*,f_*$ bất biến), nên ta có thể chỉ xét trên $E$. Áp dụng bất đẳng thức cực đại cho $f-\beta$ trên $E$ buộc $\int_E f\,d\mu\ge\beta\mu(E)$, và áp dụng cho $\alpha-f$ tương tự buộc $\int_E f\,d\mu\le\alpha\mu(E)$; vì $\alpha<\beta$ và $\mu(E)>0$ hai điều này mâu thuẫn nhau. Vậy $f^*=f_*$ hầu khắp nơi, nên giới hạn $\bar f(x)=\lim_n S_nf(x)/n$ tồn tại hầu khắp nơi và bất biến qua $T$.

Bước 4 (khớp các tích phân, và trường hợp ergodic). Một lập luận hội tụ bị chặn (cắt cụt $f$ và kiểm soát các đuôi bằng bất đẳng thức cực đại lần nữa) cho $\int_X \bar f\,d\mu = \int_X f\,d\mu$. Cuối cùng, nếu $T$ ergodic, hàm bất biến qua $T$ là $\bar f$ phải là hằng số hầu khắp nơi (theo chính định nghĩa của tính ergodic áp dụng cho các tập mức $\{\bar f\le c\}$ của nó, mỗi tập này bất biến qua $T$ nên có độ đo $0$ hoặc $1$); kết hợp với sự bằng nhau của các tích phân, hằng số đó phải là $\int_X f\,d\mu$, cho $\bar f(x)=\int_X f\,d\mu\ \text{a.e.}$.