Lý thuyết ergodic

Đây là phiên bản chặt chẽ của một trực giác mà các nhà vật lý đã dùng hàng thập kỷ mà không có chứng minh (giả thuyết ergodic của Boltzmann trong cơ học thống kê): để tính trung bình dài hạn của một đại lượng nào đó, bạn có thể hoặc theo dõi một hệ tiến triển trong thời gian rất dài, hoặc lấy trung bình trên toàn bộ một tập hợp các hệ tại một thời điểm — và với các hệ ergodic, hai phép tính nghe có vẻ rất khác nhau này cho ra chính xác cùng một kết quả.

Bước 1 (limsup và liminf bất biến). Đặt $f^*(x)=\limsup_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$ và $f_*(x)=\liminf_{n\to\infty}\frac{S_nf(x)}{n}$. Vì $S_{n+1}f(x) = f(x) + S_nf(Tx)$, chia cho $n+1$ và cho $n\to\infty$ cho thấy $f^*(Tx)=f^*(x)$ và $f_*(Tx)=f_*(x)$: cả hai đều là hàm bất biến qua $T$.

Bước 2 (định lý ergodic cực đại). Với $\lambda\in\mathbb R$, đặt $A_\lambda=\{x: \sup_n S_nf(x)/n>\lambda\}$ là tập nơi trung bình thời gian chạy từng vượt quá $\lambda$. Bổ đề kỹ thuật then chốt (chứng minh bằng cách xét $g=f-\lambda$ và cực đại của các tổng riêng $M_n(x)=\max(0,S_1g(x),\dots,S_ng(x))$, sau đó dùng $M_n(Tx)\ge S_kg(Tx)$ theo từng số hạng và lấy tích phân trên tập nơi $M_n>0$) cho $\int_{A_\lambda} f\,d\mu \ge \lambda\,\mu(A_\lambda)$.

Bước 3 (ép f và f_ lại gần nhau). Giả sử phản chứng rằng $f^*>f_*$ trên một tập có độ đo dương; khi đó tồn tại các số hữu tỉ $\alpha<\beta$ với $E=\{x: f_*(x)<\alpha<\beta<f^*(x)\}$ có độ đo dương. $E$ bất biến qua $T$ (vì $f^*,f_*$ bất biến), nên ta có thể chỉ xét trên $E$. Áp dụng bất đẳng thức cực đại cho $f-\beta$ trên $E$ buộc $\int_E f\,d\mu\ge\beta\mu(E)$, và áp dụng cho $\alpha-f$ tương tự buộc $\int_E f\,d\mu\le\alpha\mu(E)$; vì $\alpha<\beta$ và $\mu(E)>0$ hai điều này mâu thuẫn nhau. Vậy $f^*=f_*$ hầu khắp nơi, nên giới hạn $\bar f(x)=\lim_n S_nf(x)/n$ tồn tại hầu khắp nơi và bất biến qua $T$.

Bước 4 (khớp các tích phân, và trường hợp ergodic). Một lập luận hội tụ bị chặn (cắt cụt $f$ và kiểm soát các đuôi bằng bất đẳng thức cực đại lần nữa) cho $\int_X \bar f\,d\mu = \int_X f\,d\mu$. Cuối cùng, nếu $T$ ergodic, hàm bất biến qua $T$ là $\bar f$ phải là hằng số hầu khắp nơi (theo chính định nghĩa của tính ergodic áp dụng cho các tập mức $\{\bar f\le c\}$ của nó, mỗi tập này bất biến qua $T$ nên có độ đo $0$ hoặc $1$); kết hợp với sự bằng nhau của các tích phân, hằng số đó phải là $\int_X f\,d\mu$, cho $\bar f(x)=\int_X f\,d\mu\ \text{a.e.}$.

Nếu không gian hữu hạn và không có gì bị phá hủy (bảo toàn độ đo), một vùng không thể mãi mãi gửi các điểm tới lãnh thổ hoàn toàn mới, chưa từng ghé qua — cuối cùng hệ phải bắt đầu quay lại những nơi đã từng ở, đơn giản vì không còn chỗ mới nào để đặt độ đo quay trở lại.

Bước 1 (các điểm không bao giờ quay lại). Đặt $A_0=\{x\in A: T^nx\notin A\ \forall n\ge1\}$ là các điểm của $A$ không bao giờ quay lại $A$. Các tập $A_0, T^{-1}A_0, T^{-2}A_0,\dots$ đôi một rời nhau: nếu $x\in T^{-i}A_0\cap T^{-j}A_0$ với $i<j$, thì $T^ix\in A_0$ nhưng cũng $T^j x = T^{j-i}(T^ix) \in A$ với $j-i\ge1$, mâu thuẫn với việc $T^ix\in A_0$ không bao giờ quay lại $A$. Vậy $T^{-i}A_0 \cap T^{-j}A_0=\varnothing\ (i\ne j)$.

Bước 2 (tập không bao giờ quay lại có độ đo không). Vì $T$ bảo toàn độ đo, $\mu(A_0)=\mu(T^{-i}A_0)$ với mọi $i$. Nếu $\mu(A_0)>0$, các tập đếm được đôi một rời nhau $T^{-i}A_0$ ($i=0,1,2,\dots$) đều có cùng độ đo dương này, nên hợp của chúng sẽ có tổng độ đo vô hạn — điều không thể vì $\mu(X)<\infty$ (thực ra $\mu(X)=1$). Vậy $\mu(A_0)=0$.

Bước 3 (những điểm chỉ quay lại hữu hạn lần cũng có độ đo không). Đặt $B=\{x\in A: x\ \text{returns to}\ A\ \text{only finitely often}\}$. Viết $B$ như một hợp đếm được theo $k$ của (về cơ bản) tập không bao giờ quay lại của $T^kA$ dưới động lực đã dịch chuyển, $B=\bigcup_{k\ge0} T^{-k}\{x\in T^kA: x\ \text{never returns to}\ T^kA\}$, mỗi số hạng có độ đo không theo đúng lập luận Bước 1–2 áp dụng cho $T^kA$ thay cho $A$ (dùng $\mu(T^kA)=\mu(A)$). Theo tính cộng tính dưới đếm được, $\mu(B)=0$.

Bước 4 (kết luận). Mọi $x\in A\setminus B$ (có độ đo đầy đủ trong $A$, vì $\mu(B)=0$) quay lại $A$ vô hạn lần theo định nghĩa của $B$. Đây chính xác là phát biểu của định lý.