Định lý hồi quy Poincaré

Bước 1 (các điểm không bao giờ quay lại). Đặt $A_0=\{x\in A: T^nx\notin A\ \forall n\ge1\}$ là các điểm của $A$ không bao giờ quay lại $A$. Các tập $A_0, T^{-1}A_0, T^{-2}A_0,\dots$ đôi một rời nhau: nếu $x\in T^{-i}A_0\cap T^{-j}A_0$ với $i<j$, thì $T^ix\in A_0$ nhưng cũng $T^j x = T^{j-i}(T^ix) \in A$ với $j-i\ge1$, mâu thuẫn với việc $T^ix\in A_0$ không bao giờ quay lại $A$. Vậy $T^{-i}A_0 \cap T^{-j}A_0=\varnothing\ (i\ne j)$.

Bước 2 (tập không bao giờ quay lại có độ đo không). Vì $T$ bảo toàn độ đo, $\mu(A_0)=\mu(T^{-i}A_0)$ với mọi $i$. Nếu $\mu(A_0)>0$, các tập đếm được đôi một rời nhau $T^{-i}A_0$ ($i=0,1,2,\dots$) đều có cùng độ đo dương này, nên hợp của chúng sẽ có tổng độ đo vô hạn — điều không thể vì $\mu(X)<\infty$ (thực ra $\mu(X)=1$). Vậy $\mu(A_0)=0$.

Bước 3 (những điểm chỉ quay lại hữu hạn lần cũng có độ đo không). Đặt $B=\{x\in A: x\ \text{returns to}\ A\ \text{only finitely often}\}$. Viết $B$ như một hợp đếm được theo $k$ của (về cơ bản) tập không bao giờ quay lại của $T^kA$ dưới động lực đã dịch chuyển, $B=\bigcup_{k\ge0} T^{-k}\{x\in T^kA: x\ \text{never returns to}\ T^kA\}$, mỗi số hạng có độ đo không theo đúng lập luận Bước 1–2 áp dụng cho $T^kA$ thay cho $A$ (dùng $\mu(T^kA)=\mu(A)$). Theo tính cộng tính dưới đếm được, $\mu(B)=0$.

Bước 4 (kết luận). Mọi $x\in A\setminus B$ (có độ đo đầy đủ trong $A$, vì $\mu(B)=0$) quay lại $A$ vô hạn lần theo định nghĩa của $B$. Đây chính xác là phát biểu của định lý.