Định lý Compactness

Ta chứng minh mệnh đề phản đảo: nếu $\Sigma$ không có mô hình, thì có một $\Sigma_0 \subseteq \Sigma$ hữu hạn không có mô hình.

Giả sử $\Sigma$ không thỏa mãn được. Theo Định lý Đầy đủ Gödel cho logic bậc một (kéo theo ngữ nghĩa trùng với suy dẫn cú pháp: $\Sigma \models \bot$ khi và chỉ khi $\Sigma \vdash \bot$), việc $\Sigma$ không thỏa mãn được tương đương với $\Sigma$ không nhất quán về cú pháp, tức $\Sigma \vdash \bot$ — một mâu thuẫn suy dẫn được hình thức từ $\Sigma$.

Một suy dẫn hình thức theo định nghĩa là một dãy hữu hạn các công thức, mỗi công thức được biện minh bởi một tiên đề, một tiền đề từ $\Sigma$, hoặc một quy tắc suy luận áp dụng cho các dòng trước. Vì suy dẫn của $\bot$ hữu hạn, nó chỉ trích dẫn hữu hạn tiền đề từ $\Sigma$; gom chúng vào tập hữu hạn $\Sigma_0 = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\} \subseteq \Sigma$.

Chính suy dẫn hữu hạn đó, chỉ dùng tiền đề từ $\Sigma_0$, chứng thực $\Sigma_0 \vdash \bot$. Theo tính đúng đắn của logic bậc một (suy dẫn được kéo theo kéo theo ngữ nghĩa), $\Sigma_0 \models \bot$, tức $\Sigma_0$ không thỏa mãn được — nó không có mô hình.

Vậy ta đã tạo ra một $\Sigma_0 \subseteq \Sigma$ hữu hạn không có mô hình, chứng minh mệnh đề phản đảo. Tương đương: nếu mọi tập con hữu hạn của $\Sigma$ có mô hình, không thể tồn tại suy dẫn hữu hạn không nhất quán như vậy, nên $\Sigma$ không thể không thỏa mãn được, do đó $\Sigma$ có mô hình.