Định lý Löwenheim–Skolem (chiều xuống)

Ta xây $N$ là hợp của một dãy tăng đếm được các tập con đếm được của $M$, dùng kiểm tra Tarski–Vaught: một tập con $N \subseteq M$ (như cấu trúc con) là sơ cấp khi và chỉ khi với mọi công thức $\mathcal{L}$ là $\psi(x, \bar{y})$ và mọi bộ $\bar{a}$ từ $N$, nếu có $b \in M$ nào đó với $\mathcal{M} \models \psi(b, \bar{a})$, thì đã có sẵn nhân chứng $b \in N$ như vậy.

Vì $\mathcal{L}$ đếm được, chỉ có đếm được nhiều công thức $\psi(x,\bar y)$. Bắt đầu với $X_0 \subseteq M$ đếm được vô hạn bất kỳ (có thể vì $M$ vô hạn). Cho $X_n$ đếm được, với mỗi công thức $\psi(x,\bar y)$ và mỗi bộ $\bar a$ từ $X_n$ (vẫn chỉ đếm được nhiều cặp, vì $X_n$ đếm được và $\mathcal{L}$ đếm được), nếu $\exists b \in M\, \mathcal{M} \models \psi(b,\bar a)$, chọn một nhân chứng $b$ như vậy (dùng Tiên đề Chọn) và thêm vào để tạo $X_{n+1}$; điều này chỉ thêm đếm được nhiều phần tử mới, nên $X_{n+1}$ vẫn đếm được.

Đặt $N = \bigcup_{n<\omega} X_n$; hợp đếm được của các tập đếm được, nên $N$ đếm được (và vô hạn, vì $X_0 \subseteq N$). Ta kiểm kiểm tra Tarski–Vaught cho $N$: cho $\psi(x,\bar y)$ và $\bar a$ từ $N$, vì $\bar a$ là bộ hữu hạn nên nó nằm trọn trong một $X_n$ nào đó (dãy tăng dần); nếu tồn tại nhân chứng $b \in M$ cho $\psi(b, \bar a)$, thì theo cách xây $X_{n+1}$, một nhân chứng đã được chọn và đặt vào $X_{n+1} \subseteq N$.

Theo kiểm tra Tarski–Vaught, $N$ (với cấu trúc $\mathcal{L}$ cảm sinh $\mathcal{N}$) thỏa mãn $\mathcal{N} \preceq \mathcal{M}$. Mô hình con sơ cấp thỏa mãn đúng cùng các câu như cấu trúc mẹ, nên $\mathcal{N}$ là một mô hình đếm được vô hạn chứng thực định lý.