Hệ thức skein của đa thức Jones xác định $V_K$

Phác thảo tính xác định được qua quy nạp trên giao điểm. Sắp thứ tự các giao điểm của biểu đồ $D$ và định nghĩa $c(D)$ là số giao điểm cần đổi để đạt được biểu đồ nút tầm thường (luôn hữu hạn, vì đổi mọi giao điểm của biểu đồ bất kỳ theo thứ tự phù hợp sẽ gỡ nút nó — sự kiện cổ điển). Ta chỉ ra $V_K(t)$ tính được bằng quy nạp theo $c(D)$.

Trường hợp cơ sở. Nếu $c(D)=0$, $D$ đã biểu diễn nút tầm thường (có thể kèm thêm các vòng tròn tầm thường rời rạc từ đơn giản hóa kiểu Reidemeister I), và $V_K(t)=1$ theo định nghĩa (với hệ số chuẩn hóa $(-t^{1/2}-t^{-1/2})^{k-1}$ cho $k$ thành phần tầm thường rời rạc, nhất quán với hệ thức skein áp dụng cho liên kết tách rời).

Bước quy nạp. Giả sử $c(D)\ge 1$, chọn một giao điểm mà việc đổi nó giảm $c$. Gọi $D_+$ (hay $D_-$) là biểu đồ tại giao điểm đó trước khi đổi và $D_-$ (hay $D_+$) sau khi đổi — theo cách dựng, $c$ giảm với một trong hai. Gọi $D_0$ là biểu đồ giống hệt nhưng giao điểm đó được làm trơn (bỏ đi, nối sợi theo cách khác); $D_0$ có ít hơn một giao điểm nên cũng có $c$ nhỏ hơn (hoặc rơi vào trường hợp cơ sở). Theo giả thiết quy nạp, $V$ đã biết cho $D_-$ (hay $D_+$) và $D_0$. Sắp xếp lại hệ thức skein $t^{-1} V_{L_+} - t V_{L_-} = (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ để giải số hạng chưa biết (ví dụ $V_{L_+} = t\big(V_{L_-} + (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}\big)$) tính được $V$ cho $D$.

Tính nhất quán (phác thảo). Phần không tầm thường của định lý — rằng giá trị tính đệ quy này không phụ thuộc thứ tự chọn giao điểm, và bất biến qua cả ba phép biến đổi Reidemeister — được thiết lập bởi cách dựng đa thức ngoặc Kauffman: định nghĩa $\langle D\rangle$ bằng quy tắc làm trơn cục bộ $\langle\text{crossing}\rangle = A\langle\text{smoothing }0\rangle + A^{-1}\langle\text{smoothing }\infty\rangle$ và $\langle D\sqcup\bigcirc\rangle = (-A^2-A^{-2})\langle D\rangle$; kiểm tra trực tiếp (tính toán cục bộ hữu hạn) rằng $\langle D\rangle$ bất biến qua Reidemeister II và III, và đổi theo hệ số có kiểm soát qua Reidemeister I, được bù chính xác bằng cách nhân với $(-A^3)^{-w(D)}$ với $w(D)$ là độ xoắn (đếm giao điểm có dấu); thay $t=A^{-4}$ khôi phục $V_K(t)$ thỏa đúng hệ thức skein đã nêu.