Lý thuyết nút

Điều này cho chứng minh chặt chẽ đầu tiên rằng một nút có thể thực sự bị thắt nút — không chỉ khó gỡ bằng tay, mà chứng minh được là không tương đương với nút tầm thường — chỉ dùng tổ hợp sơ cấp, không cần công cụ cao cấp.

Bất biến qua Loại I. Phép biến đổi Loại I thêm hoặc bớt một vòng nhỏ, tạo một giao điểm nơi một sợi duy nhất cắt chính nó. Trong bất kỳ tô màu hợp lệ nào trước phép biến đổi, sợi đó có một màu, gọi là $a$, vào và ra khỏi vòng. Thêm nút xoắn tạo giao điểm với hai sợi dưới đều màu $a$ và sợi trên cũng buộc phải màu $a$ (vì vòng là một sợi duy nhất), và $a+a+a=3a\equiv 0\pmod 3$ luôn đúng tự động — nên tô màu mở rộng hợp lệ sang giao điểm mới không ràng buộc gì, và ngược lại thu hẹp hợp lệ khi bỏ đi. Tính tô màu được tổng thể (tồn tại tô màu hợp lệ dùng $\ge 2$ màu) được bảo toàn.

Bất biến qua Loại II. Phép biến đổi Loại II thêm hoặc bớt hai giao điểm nơi hai sợi, màu $a$ và $b$ (có thể bằng nhau), cắt nhau hai lần. Kiểm tra cả hai giao điểm: tại mỗi giao điểm, hai sợi có mặt là $a,b$ và sợi thứ ba (sợi trên tại mỗi giao điểm, là một trong hai sợi đó tiếp tục) bị buộc bởi quy tắc phải là màu nào làm $a+b+c\equiv0$; vì hai giao điểm liên hệ bởi các sợi chỉ đơn giản đi qua nhau, tô màu trên hai sợi gốc $a,b$ mở rộng nhất quán để tô cả hai vùng giao điểm mới mà không đưa vào màu mới hay mâu thuẫn, và bỏ phép biến đổi chỉ xóa hai ràng buộc đó, vốn tự động thỏa mãn được. Vậy tính tô màu được bảo toàn cả hai chiều.

Bất biến qua Loại III. Phép biến đổi Loại III trượt một sợi ngang qua một giao điểm, sắp xếp lại ba giao điểm giữa ba sợi màu $a,b,c$ (giả sử) mà không đổi màu nào xuất hiện ở đâu tổng thể — nó chỉ đổi cách sắp xếp tổ hợp cục bộ của cùng ba cung đã tô màu. Vì quy tắc tô màu $x+y+z\equiv0\pmod3$ tại mỗi trong ba giao điểm chỉ phụ thuộc màu của bộ ba (không thứ tự) các sợi gặp nhau ở đó, và Loại III không đổi sợi nào gặp nhau tại giao điểm (chỉ đổi cách sắp xếp cục bộ trong biểu đồ), một tô màu hợp lệ trước phép biến đổi thu hẹp thành tô màu hợp lệ sau, và ngược lại.

Kết luận. Vì tính tô ba màu được (như một tính chất có/không, yêu cầu dùng $\ge 2$ màu) không đổi qua cả ba phép biến đổi, nó là bất biến của nút, không chỉ của biểu đồ. Biểu đồ nút ba lá chuẩn nhận tô màu $a=0,b=1,c=2$ trên ba cung của nó (kiểm tra cả ba giao điểm đều thỏa $0+1+2=3\equiv0\pmod3$), dùng $3\ge2$ màu, nên nút ba lá tô ba màu được. Biểu đồ nút tầm thường chuẩn (một vòng không thắt nút, không giao điểm, hay bất kỳ biểu đồ nào rút gọn về một cung) chỉ có một cung, nên chỉ có một màu khả dụng, không thỏa yêu cầu "$\ge 2$ màu" — nút tầm thường không tô ba màu được. Vì tô ba màu là bất biến và hai biểu đồ khác nhau, không dãy phép biến đổi Reidemeister nào nối biểu đồ nút ba lá với biểu đồ nút tầm thường, nên nút ba lá là một vòng thực sự bị thắt nút.

Hệ thức skein biến một bài toán biến dạng 3D trông bất khả thi thành đại số đệ quy thuần túy: mọi biểu đồ nút có thể rút gọn về nút tầm thường bằng cách giải quyết lặp đi lặp lại các giao điểm, và hệ thức cho biết chính xác đa thức thay đổi thế nào tại mỗi bước giải quyết, khiến $V_K(t)$ tính được bằng thuật toán.

Phác thảo tính xác định được qua quy nạp trên giao điểm. Sắp thứ tự các giao điểm của biểu đồ $D$ và định nghĩa $c(D)$ là số giao điểm cần đổi để đạt được biểu đồ nút tầm thường (luôn hữu hạn, vì đổi mọi giao điểm của biểu đồ bất kỳ theo thứ tự phù hợp sẽ gỡ nút nó — sự kiện cổ điển). Ta chỉ ra $V_K(t)$ tính được bằng quy nạp theo $c(D)$.

Trường hợp cơ sở. Nếu $c(D)=0$, $D$ đã biểu diễn nút tầm thường (có thể kèm thêm các vòng tròn tầm thường rời rạc từ đơn giản hóa kiểu Reidemeister I), và $V_K(t)=1$ theo định nghĩa (với hệ số chuẩn hóa $(-t^{1/2}-t^{-1/2})^{k-1}$ cho $k$ thành phần tầm thường rời rạc, nhất quán với hệ thức skein áp dụng cho liên kết tách rời).

Bước quy nạp. Giả sử $c(D)\ge 1$, chọn một giao điểm mà việc đổi nó giảm $c$. Gọi $D_+$ (hay $D_-$) là biểu đồ tại giao điểm đó trước khi đổi và $D_-$ (hay $D_+$) sau khi đổi — theo cách dựng, $c$ giảm với một trong hai. Gọi $D_0$ là biểu đồ giống hệt nhưng giao điểm đó được làm trơn (bỏ đi, nối sợi theo cách khác); $D_0$ có ít hơn một giao điểm nên cũng có $c$ nhỏ hơn (hoặc rơi vào trường hợp cơ sở). Theo giả thiết quy nạp, $V$ đã biết cho $D_-$ (hay $D_+$) và $D_0$. Sắp xếp lại hệ thức skein $t^{-1} V_{L_+} - t V_{L_-} = (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}$ để giải số hạng chưa biết (ví dụ $V_{L_+} = t\big(V_{L_-} + (t^{1/2}-t^{-1/2})V_{L_0}\big)$) tính được $V$ cho $D$.

Tính nhất quán (phác thảo). Phần không tầm thường của định lý — rằng giá trị tính đệ quy này không phụ thuộc thứ tự chọn giao điểm, và bất biến qua cả ba phép biến đổi Reidemeister — được thiết lập bởi cách dựng đa thức ngoặc Kauffman: định nghĩa $\langle D\rangle$ bằng quy tắc làm trơn cục bộ $\langle\text{crossing}\rangle = A\langle\text{smoothing }0\rangle + A^{-1}\langle\text{smoothing }\infty\rangle$ và $\langle D\sqcup\bigcirc\rangle = (-A^2-A^{-2})\langle D\rangle$; kiểm tra trực tiếp (tính toán cục bộ hữu hạn) rằng $\langle D\rangle$ bất biến qua Reidemeister II và III, và đổi theo hệ số có kiểm soát qua Reidemeister I, được bù chính xác bằng cách nhân với $(-A^3)^{-w(D)}$ với $w(D)$ là độ xoắn (đếm giao điểm có dấu); thay $t=A^{-4}$ khôi phục $V_K(t)$ thỏa đúng hệ thức skein đã nêu.