Tô ba màu là bất biến nút, và nút ba lá là nút thực sự

Bất biến qua Loại I. Phép biến đổi Loại I thêm hoặc bớt một vòng nhỏ, tạo một giao điểm nơi một sợi duy nhất cắt chính nó. Trong bất kỳ tô màu hợp lệ nào trước phép biến đổi, sợi đó có một màu, gọi là $a$, vào và ra khỏi vòng. Thêm nút xoắn tạo giao điểm với hai sợi dưới đều màu $a$ và sợi trên cũng buộc phải màu $a$ (vì vòng là một sợi duy nhất), và $a+a+a=3a\equiv 0\pmod 3$ luôn đúng tự động — nên tô màu mở rộng hợp lệ sang giao điểm mới không ràng buộc gì, và ngược lại thu hẹp hợp lệ khi bỏ đi. Tính tô màu được tổng thể (tồn tại tô màu hợp lệ dùng $\ge 2$ màu) được bảo toàn.

Bất biến qua Loại II. Phép biến đổi Loại II thêm hoặc bớt hai giao điểm nơi hai sợi, màu $a$ và $b$ (có thể bằng nhau), cắt nhau hai lần. Kiểm tra cả hai giao điểm: tại mỗi giao điểm, hai sợi có mặt là $a,b$ và sợi thứ ba (sợi trên tại mỗi giao điểm, là một trong hai sợi đó tiếp tục) bị buộc bởi quy tắc phải là màu nào làm $a+b+c\equiv0$; vì hai giao điểm liên hệ bởi các sợi chỉ đơn giản đi qua nhau, tô màu trên hai sợi gốc $a,b$ mở rộng nhất quán để tô cả hai vùng giao điểm mới mà không đưa vào màu mới hay mâu thuẫn, và bỏ phép biến đổi chỉ xóa hai ràng buộc đó, vốn tự động thỏa mãn được. Vậy tính tô màu được bảo toàn cả hai chiều.

Bất biến qua Loại III. Phép biến đổi Loại III trượt một sợi ngang qua một giao điểm, sắp xếp lại ba giao điểm giữa ba sợi màu $a,b,c$ (giả sử) mà không đổi màu nào xuất hiện ở đâu tổng thể — nó chỉ đổi cách sắp xếp tổ hợp cục bộ của cùng ba cung đã tô màu. Vì quy tắc tô màu $x+y+z\equiv0\pmod3$ tại mỗi trong ba giao điểm chỉ phụ thuộc màu của bộ ba (không thứ tự) các sợi gặp nhau ở đó, và Loại III không đổi sợi nào gặp nhau tại giao điểm (chỉ đổi cách sắp xếp cục bộ trong biểu đồ), một tô màu hợp lệ trước phép biến đổi thu hẹp thành tô màu hợp lệ sau, và ngược lại.

Kết luận. Vì tính tô ba màu được (như một tính chất có/không, yêu cầu dùng $\ge 2$ màu) không đổi qua cả ba phép biến đổi, nó là bất biến của nút, không chỉ của biểu đồ. Biểu đồ nút ba lá chuẩn nhận tô màu $a=0,b=1,c=2$ trên ba cung của nó (kiểm tra cả ba giao điểm đều thỏa $0+1+2=3\equiv0\pmod3$), dùng $3\ge2$ màu, nên nút ba lá tô ba màu được. Biểu đồ nút tầm thường chuẩn (một vòng không thắt nút, không giao điểm, hay bất kỳ biểu đồ nào rút gọn về một cung) chỉ có một cung, nên chỉ có một màu khả dụng, không thỏa yêu cầu "$\ge 2$ màu" — nút tầm thường không tô ba màu được. Vì tô ba màu là bất biến và hai biểu đồ khác nhau, không dãy phép biến đổi Reidemeister nào nối biểu đồ nút ba lá với biểu đồ nút tầm thường, nên nút ba lá là một vòng thực sự bị thắt nút.