Định lý R(3, 3) = 6

**Bước 1 (chặn trên $R(3,3) \le 6$).** Chọn một đỉnh $v$ bất kỳ của $K_6$. Có $5$ cạnh nối từ v được tô đỏ hoặc xanh. Theo nguyên lý Dirichlet ($\lceil 5/2 \rceil = 3$), có ít nhất $3$ cạnh cùng màu — giả sử $vu_1, vu_2, vu_3$ đều màu đỏ.

**Bước 2 (chia trường hợp trên $\{u_1, u_2, u_3\}$).** Xét $3$ cạnh nối giữa $\{u_1, u_2, u_3\}$. Nếu có một cạnh nào đó — chẳng hạn $u_1u_2$ — màu đỏ, thì $\{v, u_1, u_2\}$ tạo thành một $K_3$ đỏ. Ngược lại, cả $3$ cạnh $u_1u_2, u_2u_3, u_3u_1$ đều màu xanh, nên chính $\{u_1, u_2, u_3\}$ là một $K_3$ xanh.

**Bước 3 (chặn dưới $R(3,3) > 5$).** Đánh số các đỉnh của $K_5$ bởi $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Tô cạnh $ij$ màu đỏ nếu $i - j \equiv \pm 1 \pmod 5$ và màu xanh nếu $i - j \equiv \pm 2 \pmod 5$. Cả hai lớp màu đều tạo thành chu trình $5$ đỉnh không tam giác, chứng tỏ $R(3,3) > 5$ và do đó $R(3,3) = 6$.