Định lý Hellinger–Toeplitz

Ta dùng định lý đồ thị đóng (một hệ quả chuẩn của định lý phạm trù Baire): một toán tử tuyến tính xác định trên toàn bộ một không gian Hilbert là bị chặn khi và chỉ khi đồ thị của nó $\{(x,Tx):x\in H\}$ đóng trong $H\times H$, tức bất cứ khi nào $x_n\to x$ và $Tx_n\to y$, ta phải có $y=Tx$.

Giả sử $x_n\to x$ và $Tx_n\to y$. Ta phải chứng minh $y=Tx$. Với bất kỳ $z\in H$ cố định nào, tính đối xứng cho $\langle Tx_n,z\rangle=\langle x_n,Tz\rangle$ với mọi $n$.

Cho $n\to\infty$ ở cả hai vế: vế trái $\langle Tx_n,z\rangle\to\langle y,z\rangle$ vì $Tx_n\to y$ và tích vô hướng liên tục; vế phải $\langle x_n,Tz\rangle\to\langle x,Tz\rangle$ vì $x_n\to x$. Nên $\langle y,z\rangle=\langle x,Tz\rangle=\langle Tx,z\rangle$ (dùng tính đối xứng một lần nữa ở vế phải).

Vì $\langle y,z\rangle=\langle Tx,z\rangle$ đúng với mọi $z\in H$, ta được $\langle y-Tx,z\rangle=0$ với mọi $z$; lấy $z=y-Tx$ cho $\|y-Tx\|^2=0$, nên $y=Tx$. Đồ thị của $T$ vì vậy đóng, và định lý đồ thị đóng kết luận $T$ bị chặn.