Định lý phân loại xoắn của Mazur

Chứng minh năm 1977 của Mazur chuyển việc tồn tại một điểm hữu tỉ có bậc đúng $N$ trên $E$ thành việc tồn tại một điểm hữu tỉ không phải điểm chóp trên đường cong modular $X_1(N)$, phân loại các cặp $(E, P)$ với $P$ có bậc $N$. Chiến lược này khảo sát Jacobian $J_0(N)$ của đường cong modular liên quan $X_0(N)$ và iđêan Eisenstein $\mathcal{I}$ — iđêan trong đại số Hecke sinh bởi $T_\ell - \ell - 1$ với các số nguyên tố $\ell \nmid N$ — tác động lên nó. Bằng cách phân tích thương Eisenstein của $J_0(N)$ và phép rút gọn của nó theo modulo các số nguyên tố phụ trợ, Mazur chứng minh rằng với $N$ nằm ngoài danh sách cho phép, $X_1(N)(\mathbb{Q})$ chỉ gồm các điểm chóp, nên không đường cong elliptic nào trên $\mathbb{Q}$ có thể có điểm hữu tỉ với bậc đúng đó; các cấu trúc tường minh (chẳng hạn dùng các đường cong $y^2=x^3+ax$ và $y^2=x^3+b$) minh họa các ví dụ hiện thực hóa mỗi nhóm trong $15$ nhóm được phép.