Định lý Modularity (Taniyama–Shimura–Weil)

Wiles đã chứng minh tính modular cho các đường cong elliptic bán ổn định trên $\mathbb{Q}$ vào năm 1994–95 (với bước cuối cùng, một tiêu chuẩn số học cho đẳng cấu giữa các vành biến dạng và đại số Hecke — '$R=T$ định lý' — được thiết lập cùng với Richard Taylor). Chiến lược này chứng minh rằng biểu diễn Galois trên môđun Tate $\ell$-adic của $E$, và biểu diễn tương ứng gắn với một dạng modular ứng viên, sống trong cùng một không gian biến dạng; chứng minh rằng vành biến dạng $R$ và đại số Hecke $T$ tác động lên dạng modular trùng nhau buộc mọi biểu diễn Galois được phép — đặc biệt là của $E$ — phải đến từ một dạng modular. Vì mọi đường cong bán ổn định là đủ để loại trừ một phản ví dụ cho phương trình Fermat (bất kỳ nghiệm $a^n+b^n=c^n$ nào cũng sẽ cho ra một đường cong Frey bán ổn định $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$ mà Kenneth Ribet đã chứng minh, qua chứng minh giả thuyết $\varepsilon$ năm 1990 của ông, không thể là modular), điều này đã chứng minh Định lý lớn Fermat. Ràng buộc bán ổn định sau đó được gỡ bỏ hoàn toàn, mở rộng tính modular cho mọi đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$, bởi Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, và Richard Taylor năm 2001.