Định lý Mordell–Weil

Chứng minh kết hợp hai thành phần. Mordell–Weil yếu: ta chứng minh $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ là một nhóm hữu hạn, bằng cách nhúng nó (qua đối đồng điều Galois, dùng ánh xạ giáng bậc $2$ là $P \mapsto (x(P)-e_1, x(P)-e_2, x(P)-e_3)$ với các nghiệm $e_i$ của đa thức bậc ba) vào một nhóm dựng từ nhóm lớp và nhóm đơn vị của một trường số liên quan, cả hai đều được biết là hữu hạn. Giáng theo độ cao: ta gắn cho mỗi điểm một độ cao chính tắc $\hat h(P) \ge 0$, một đại lượng thực đo độ phức tạp số học thỏa mãn $\hat h(2P) = 4\hat h(P)$ và chỉ hữu hạn điểm có độ cao dưới một chặn cho trước. Kết hợp một tập hữu hạn đại diện lớp ghép của $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ với việc lặp lại giảm một nửa độ cao của bất kỳ điểm nào (qua luật hình bình hành cho độ cao) cuối cùng rơi vào vùng độ cao bị chặn cho thấy mọi điểm đều là một tổ hợp $\mathbb{Z}$ của hữu hạn đại diện và hữu hạn điểm có độ cao bị chặn — vậy $E(\mathbb{Q})$ được sinh hữu hạn.