Định lý tồn tại của Nash

Đặt $\Delta = \Delta_1 \times \cdots \times \Delta_n$, tích các đơn hình chiến lược hỗn hợp của những người chơi — một tập con compact, lồi của không gian Euclid. Với $x \in \Delta$, người chơi $i$, và chiến lược thuần túy $j \in S_i$, đặt hàm lợi ích tăng thêm $g_{ij}(x) = \max\big(0,\, u_i(s_{ij}, x_{-i}) - u_i(x)\big)$, lợi ích mà người chơi $i$ thu được nếu chuyển hẳn sang chiến lược thuần túy $j$, hoặc $0$ nếu chuyển như vậy không có lợi. Đặt $f : \Delta \to \Delta$ bởi $f_i(x)_j = \dfrac{x_{ij} + g_{ij}(x)}{1 + \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x)}$; vì $u_i$ liên tục (thực ra đa tuyến tính) theo $x$, $g_{ij}$ liên tục, nên $f$ liên tục, và mỗi $f_i(x)$ vẫn là vector xác suất theo cách xây dựng.

Theo định lý điểm bất động Brouwer, ánh xạ liên tục $f$ trên tập compact lồi $\Delta$ có một điểm bất động $x^\star$ với $f(x^\star) = x^\star$. Đặt $S_i := \sum_{k \in S_i} g_{ik}(x^\star)$; phương trình điểm bất động cho mỗi $(i,j)$ là $x_{ij}^\star (1 + S_i) = x_{ij}^\star + g_{ij}(x^\star)$, tức $x_{ij}^\star S_i = g_{ij}(x^\star)$.

Cố định một người chơi $i$ và đặt $d_{ij} := u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)$, nên $g_{ij}(x^\star) = \max(0, d_{ij})$. Nhân phương trình điểm bất động với $d_{ij}$ và cộng theo $j \in S_i$: vế trái, $S_i \sum_j x_{ij}^\star d_{ij} = S_i\left(\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) - u_i(x^\star)\sum_j x_{ij}^\star\right) = S_i(u_i(x^\star) - u_i(x^\star)) = 0$, dùng $\sum_j x_{ij}^\star u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) = u_i(x^\star)$ và $\sum_j x_{ij}^\star = 1$.

Vế phải, $\sum_j g_{ij}(x^\star)\, d_{ij} = \sum_j \max(0,d_{ij})\, d_{ij} = \sum_{j:\, d_{ij} > 0} d_{ij}^2 \ge 0$. Cho hai vế bằng nhau, $\sum_{j:\, d_{ij}>0} d_{ij}^2 = 0$, một tổng bình phương bằng 0, nên mọi số hạng triệt tiêu: không có $j$ nào với $d_{ij} > 0$. Vì $i$ tùy ý, $u_i(s_{ij}, x_{-i}^\star) \le u_i(x^\star)$ với mọi người chơi $i$ và mọi chiến lược thuần túy $j$ — chính xác điều kiện cân bằng Nash. Vậy $x^\star$ là một cân bằng Nash.