Chính quy cấm tự thuộc

Giả sử phản chứng rằng có tập $x$ thỏa $x \in x$.

Theo Tiên đề cặp, tập $\{x\}$ tồn tại (ghép $x$ với chính nó). Tập này khác rỗng, vì nó chứa $x$.

Áp dụng Tiên đề chính quy cho tập khác rỗng $\{x\}$: phải tồn tại $y \in \{x\}$ với $\{x\} \cap y = \emptyset$. Nhưng phần tử duy nhất của $\{x\}$ là chính $x$, nên $y = x$, và kết luận trở thành $\{x\} \cap x = \emptyset$.

Bây giờ nhớ lại giả thiết phản chứng $x \in x$. Vì $x \in \{x\}$ (theo định nghĩa của cặp) và $x \in x$ (giả thiết của ta), phần tử $x$ thuộc cả $\{x\}$ lẫn $x$, nên $x \in \{x\} \cap x$. Điều này nghĩa là $\{x\} \cap x$ khác rỗng, trực tiếp mâu thuẫn với $\{x\} \cap x = \emptyset$ thu được ở trên.

Mâu thuẫn này cho thấy giả thiết $x \in x$ là không thể với mọi tập $x$; do đó $x \notin x$ với mọi tập $x$, như đã khẳng định.