Nghiệm duy nhất khi a≠0

Sự tồn tại. Từ $ax+b=0$, cộng $-b$ vào cả hai vế: cân không đổi, ta được $ax=-b$. Vì $a\neq0$, ta được phép chia cả hai vế cho $a$: cân vẫn giữ nguyên, ta được $x=-\dfrac{b}{a}$. Thay lại vào phương trình, $a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$, vậy giá trị này thực sự thoả mãn phương trình — nghiệm tồn tại.

Tính duy nhất. Giả sử $x_1$ và $x_2$ đều là nghiệm, tức $ax_1+b=0$ và $ax_2+b=0$. Trừ hai phương trình cho nhau, $b$ bị triệt tiêu: $a x_1 - a x_2 = 0$, tức $a(x_1-x_2)=0$. Vì $a\neq0$, tích hai số bằng 0 chỉ khi thừa số còn lại bằng 0, nên $x_1-x_2=0$, tức $x_1=x_2$. Vậy không thể có hai số khác nhau cùng là nghiệm: nghiệm tìm được ở trên là duy nhất.