Phương trình bậc nhất

Đây là lý do ta gọi phương trình là "bậc nhất": một ẩn, một đáp số rõ ràng, không bao giờ có hai, cũng không bao giờ vô nghiệm, miễn a khác 0.

Sự tồn tại. Từ $ax+b=0$, cộng $-b$ vào cả hai vế: cân không đổi, ta được $ax=-b$. Vì $a\neq0$, ta được phép chia cả hai vế cho $a$: cân vẫn giữ nguyên, ta được $x=-\dfrac{b}{a}$. Thay lại vào phương trình, $a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$, vậy giá trị này thực sự thoả mãn phương trình — nghiệm tồn tại.

Tính duy nhất. Giả sử $x_1$ và $x_2$ đều là nghiệm, tức $ax_1+b=0$ và $ax_2+b=0$. Trừ hai phương trình cho nhau, $b$ bị triệt tiêu: $a x_1 - a x_2 = 0$, tức $a(x_1-x_2)=0$. Vì $a\neq0$, tích hai số bằng 0 chỉ khi thừa số còn lại bằng 0, nên $x_1-x_2=0$, tức $x_1=x_2$. Vậy không thể có hai số khác nhau cùng là nghiệm: nghiệm tìm được ở trên là duy nhất.

Điều này cho thấy cái tên "phương trình bậc nhất" thực ra phụ thuộc vào việc hệ số của x khác 0 — bỏ điều kiện đó, khái niệm "một đáp số duy nhất" sụp đổ thành hoặc mọi đáp số, hoặc không đáp số nào.

Thay $a=0$ trực tiếp vào $ax+b=0$: hạng tử $ax$ trở thành $0\cdot x=0$ với mọi số thực $x$, vì bất kỳ số nào nhân với 0 cũng bằng 0. Vậy phương trình trở thành đúng $b=0$, một mệnh đề chỉ về $b$, không còn nhắc gì đến $x$ nữa.

Bây giờ chỉ có đúng hai khả năng cho số cố định $b$. Nếu $b=0$, mệnh đề còn lại "$0=0$" đúng bất kể ta thay $x$ nào — vậy mọi số thực $x$ đều thoả phương trình ban đầu, cho vô số nghiệm. Ngược lại nếu $b\neq0$, mệnh đề còn lại "$b=0$" đơn giản là sai — không giá trị $x$ nào có thể biến một mệnh đề số học sai thành đúng, nên phương trình vô nghiệm, dù ta thử $x$ nào.