Nghiệm duy nhất chính xác khi D≠0

Suy ra điều kiện cần (triệt tiêu y). Nhân phương trình đầu của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ với $d$ và phương trình sau với $b$: $adx+bdy=ed$ và $bcx+bdy=bf$. Trừ phương trình sau khỏi phương trình đầu triệt tiêu đúng các hạng tử $bdy$, còn lại $(ad-bc)x=ed-bf$. Phương trình này là hệ quả cần thiết của hệ: bất kỳ cặp $(x,y)$ nào thoả cả hai phương trình gốc cũng phải thoả nó, vì nó chỉ được xây bằng cách cộng/trừ bội của hai phương trình gốc.

Suy ra điều kiện song sinh (triệt tiêu x). Tương tự, nhân phương trình đầu với $c$ và phương trình sau với $a$, rồi trừ phương trình đầu khỏi phương trình sau để triệt tiêu các hạng tử $x$: còn lại $(ad-bc)y=af-ec$, cũng là hệ quả cần thiết của mọi nghiệm.

Sự tồn tại khi D≠0. Nếu $ad-bc\neq0$, phương trình một ẩn $(ad-bc)x=ed-bf$, theo định lý về phương trình bậc nhất một ẩn, có đúng một nghiệm $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$; tương tự $(ad-bc)y=af-ec$ cho đúng $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$. Thay hai giá trị này vào các phương trình gốc của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ và rút gọn đại số xác nhận cả hai đều được thoả đồng thời (bạn đọc có thể kiểm tra $a\cdot\dfrac{ed-bf}{ad-bc}+b\cdot\dfrac{af-ec}{ad-bc}=e$ bằng cách gộp phân số trên mẫu chung $D$) — vậy nghiệm thực sự tồn tại.

Tính duy nhất khi D≠0. Vì $(ad-bc)x=ed-bf$ và $(ad-bc)y=af-ec$ là cần thiết cho mọi nghiệm của $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ (không chỉ đủ), bất kỳ nghiệm $(x,y)$ nào của hệ gốc, dù là gì, cũng buộc phải thoả $x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$ và $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$ chính xác, theo phần duy nhất của định lý một ẩn. Vậy không thể có hai nghiệm khác nhau: kết hợp với sự tồn tại, nghiệm là duy nhất chính xác khi $ad-bc\neq0$.