Tuyến tính hóa (phương pháp gián tiếp Lyapunov)

Vì mọi trị riêng của $A$ có phần thực âm ($A$ là Hurwitz), phương trình ma trận $A^{T}P+PA=-I$ có duy nhất một nghiệm đối xứng xác định dương $P$, cho rõ ràng bởi tích phân hội tụ $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$.

Định nghĩa hàm Lyapunov ứng viên $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$ cho độ lệch $\xi=x-x^{*}$. Viết hệ phi tuyến như $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$ với $g(\xi)=o(\|\xi\|)$ khi $\xi\to0$ (số dư Taylor), tính đạo hàm theo thời gian của $V$ dọc theo quỹ đạo phi tuyến.

Dùng $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$. Vì $g(\xi)=o(\|\xi\|)$, có một lân cận của $x^{*}$ nơi $2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$, nên $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$ với $\xi\ne0$ trong lân cận đó.

Vì $V$ xác định dương và $\dot V$ xác định âm gần $x^{*}$, phương pháp trực tiếp Lyapunov (chứng minh tiếp theo) kết luận các quỹ đạo bắt đầu trong lân cận đó hội tụ về $x^{*}$: ổn định tiệm cận. Đối với trường hợp không ổn định, nếu $A$ có một trị riêng phần thực dương, một xây dựng đối xứng (định lý không ổn định Chetaev) chỉ ra một hướng mà $V$ tăng, cho thấy quỹ đạo bị đẩy ra xa $x^{*}$ dù bắt đầu gần đến đâu.