Tính ổn định của hệ động lực

Gần $x^{*}$, số hạng phi tuyến nhỏ hơn nhiều so với số hạng tuyến tính, nên nếu phần tuyến tính co lại mọi hướng theo hàm mũ, sự co lại đó chiếm ưu thế và kéo quỹ đạo thực về $x^{*}$.

Vì mọi trị riêng của $A$ có phần thực âm ($A$ là Hurwitz), phương trình ma trận $A^{T}P+PA=-I$ có duy nhất một nghiệm đối xứng xác định dương $P$, cho rõ ràng bởi tích phân hội tụ $P=\int_0^{\infty}e^{A^{T}t}e^{At}\,dt$.

Định nghĩa hàm Lyapunov ứng viên $V(\xi)=\xi^{T}P\xi\ge0$ cho độ lệch $\xi=x-x^{*}$. Viết hệ phi tuyến như $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$ với $g(\xi)=o(\|\xi\|)$ khi $\xi\to0$ (số dư Taylor), tính đạo hàm theo thời gian của $V$ dọc theo quỹ đạo phi tuyến.

Dùng $\dot\xi=A\xi+g(\xi)$: $\dot V=\dot\xi^{T}P\xi+\xi^{T}P\dot\xi=\xi^{T}(A^{T}P+PA)\xi+2\xi^{T}Pg(\xi)=-\|\xi\|^{2}+2\xi^{T}Pg(\xi)$. Vì $g(\xi)=o(\|\xi\|)$, có một lân cận của $x^{*}$ nơi $2\xi^{T}Pg(\xi)\le\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}$, nên $\dot V\le-\frac{1}{2}\|\xi\|^{2}<0$ với $\xi\ne0$ trong lân cận đó.

Vì $V$ xác định dương và $\dot V$ xác định âm gần $x^{*}$, phương pháp trực tiếp Lyapunov (chứng minh tiếp theo) kết luận các quỹ đạo bắt đầu trong lân cận đó hội tụ về $x^{*}$: ổn định tiệm cận. Đối với trường hợp không ổn định, nếu $A$ có một trị riêng phần thực dương, một xây dựng đối xứng (định lý không ổn định Chetaev) chỉ ra một hướng mà $V$ tăng, cho thấy quỹ đạo bị đẩy ra xa $x^{*}$ dù bắt đầu gần đến đâu.

Hãy nghĩ về $V$ như một năng lượng tổng quát hóa: nếu năng lượng không bao giờ tăng dọc theo quỹ đạo và chỉ bằng không tại $x^{*}$, hệ không thể trôi xa khỏi $x^{*}$, và nếu năng lượng giảm nghiêm ngặt thì cuối cùng nó phải dừng lại ở điểm duy nhất mà nó bằng không.

Cố định $\varepsilon>0$ đủ nhỏ để hình cầu đóng $\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ nằm trong miền nơi $V$ được xác định và dương ngoài $x^{*}$, và đặt $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$ là mặt cầu biên của nó. Vì $V$ liên tục và dương nghiêm ngặt trên tập compact $S_\varepsilon$, nó đạt giá trị nhỏ nhất $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$.

Bởi tính liên tục của $V$ và $V(x^{*})=0$, chọn $\delta\in(0,\varepsilon)$ đủ nhỏ để $\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ kéo theo $V(x(0))<m$.

Vì $\dot V\le0$ dọc theo quỹ đạo, $V(x(t))\le V(x(0))<m$ với mọi $t\ge0$ mà nghiệm tồn tại. Mọi điểm của $S_\varepsilon$ có $V\ge m$, nên quỹ đạo không bao giờ đạt đến $S_\varepsilon$; bởi tính liên tục của $t\mapsto x(t)$, nó phải luôn ở trong hình cầu bán kính $\varepsilon$ với mọi $t\ge0$. Đây chính là định nghĩa của ổn định Lyapunov.

Nếu thêm vào đó $\dot V(x)<0$ nghiêm ngặt với $x\ne x^{*}$ gần đó, thì $V(x(t))$ giảm nghiêm ngặt và bị chặn dưới bởi $0$, nên nó hội tụ về một giới hạn $c\ge0$. Nếu $c>0$ dương, quỹ đạo sẽ ở trong hình vành khuyên compact nơi $V\ge c>0$, trên đó $\dot V$ đạt giá trị lớn nhất âm nghiêm ngặt, buộc $V$ giảm qua $c$ trong thời gian hữu hạn — mâu thuẫn. Do đó $c=0$, và vì $V$ xác định dương, điều này buộc $x(t)\to x^{*}$: ổn định tiệm cận.