Phương pháp trực tiếp Lyapunov (phương pháp thứ hai)

Cố định $\varepsilon>0$ đủ nhỏ để hình cầu đóng $\{\|x-x^{*}\|\le\varepsilon\}$ nằm trong miền nơi $V$ được xác định và dương ngoài $x^{*}$, và đặt $S_\varepsilon=\{\|x-x^{*}\|=\varepsilon\}$ là mặt cầu biên của nó. Vì $V$ liên tục và dương nghiêm ngặt trên tập compact $S_\varepsilon$, nó đạt giá trị nhỏ nhất $m=\min_{S_\varepsilon}V>0$.

Bởi tính liên tục của $V$ và $V(x^{*})=0$, chọn $\delta\in(0,\varepsilon)$ đủ nhỏ để $\|x(0)-x^{*}\|<\delta$ kéo theo $V(x(0))<m$.

Vì $\dot V\le0$ dọc theo quỹ đạo, $V(x(t))\le V(x(0))<m$ với mọi $t\ge0$ mà nghiệm tồn tại. Mọi điểm của $S_\varepsilon$ có $V\ge m$, nên quỹ đạo không bao giờ đạt đến $S_\varepsilon$; bởi tính liên tục của $t\mapsto x(t)$, nó phải luôn ở trong hình cầu bán kính $\varepsilon$ với mọi $t\ge0$. Đây chính là định nghĩa của ổn định Lyapunov.

Nếu thêm vào đó $\dot V(x)<0$ nghiêm ngặt với $x\ne x^{*}$ gần đó, thì $V(x(t))$ giảm nghiêm ngặt và bị chặn dưới bởi $0$, nên nó hội tụ về một giới hạn $c\ge0$. Nếu $c>0$ dương, quỹ đạo sẽ ở trong hình vành khuyên compact nơi $V\ge c>0$, trên đó $\dot V$ đạt giá trị lớn nhất âm nghiêm ngặt, buộc $V$ giảm qua $c$ trong thời gian hữu hạn — mâu thuẫn. Do đó $c=0$, và vì $V$ xác định dương, điều này buộc $x(t)\to x^{*}$: ổn định tiệm cận.