Định lý kỳ dị Penrose (1965)

Bước 1 (mặt bị bẫy, bằng ký hiệu). Cho $S$ là một mặt 2 chiều kín, giống không gian, và cho $\theta$ ký hiệu độ giãn nở của một chùm trắc địa null rời khỏi $S$ theo phương vuông góc — tốc độ tương đối mà diện tích tiết diện chùm tăng lên. Xa mọi khối lượng, chùm đi ra giãn nở ($\theta_{\text{out}}>0$) và chùm đi vào co lại ($\theta_{\text{in}}<0$). $S$ bị bẫy nếu thay vào đó $\theta_{\text{out}}<0, \qquad \theta_{\text{in}}<0$ trên toàn bộ $S$: ngay cả ánh sáng đi ra cũng đang bị kéo vào trong.

Bước 2 (phương trình Raychaudhuri). Lấy đạo hàm định nghĩa $\theta=\nabla_a k^a$ của độ giãn nở dọc theo chùm null có tiếp tuyến $k^a$, và dùng định nghĩa của tensor Riemann để hoán đổi các đạo hàm, cho ta đẳng thức động học chính xác $$\frac{d\theta}{d\lambda} = -\frac{\theta^2}{2} - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - R_{ab}k^ak^b$$ trong đó $\sigma_{ab}$ là tensor cắt của chùm. Phương trình này thuần túy hình học — một phát biểu về cách mọi họ tia sáng phải bẻ cong, suy ra từ định nghĩa độ cong, trước khi giả định bất kỳ vật lý nào.

Bước 3 (điều kiện năng lượng buộc hội tụ thêm). Vật chất hợp lý về mặt vật lý thỏa điều kiện năng lượng null $$R_{ab}k^ak^b \ge 0$$ và số hạng cắt $\sigma_{ab}\sigma^{ab}\ge0$ luôn đúng (nó là tổng bình phương); bỏ cả hai số hạng không âm ở vế phải đẳng thức Bước 2 cho ta bất đẳng thức $$\frac{d\theta}{d\lambda} \le -\frac{\theta^2}{2}$$

Bước 4 (bất đẳng thức Riccati buộc bùng nổ trong thời gian hữu hạn). Trên một mặt bị bẫy, $\theta_0<0$ tại $\lambda=0$. Miễn là $\theta$ còn âm, chia bất đẳng thức cho $\theta^2>0$ và sắp xếp lại cho $$\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\theta}\right) \ge \frac12 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\theta(\lambda)} \ge \frac{1}{\theta_0}+\frac{\lambda}{2}$$ Vì vế phải tăng không giới hạn khi $\lambda$ tăng trong khi $1/\theta$ (âm) phải thỏa cận dưới này, $1/\theta$ bị buộc tiến lên $0^-$, tức $\theta\to-\infty$, tại một tham số afin hữu hạn nào đó $\lambda_*\le 2/|\theta_0|$: chùm null vuông góc với $S$ phải phát triển một điểm liên hợp (một điểm caustic, nơi các tia sáng lân cận cắt nhau) trong thời gian afin hữu hạn.

Bước 5 (từ hội tụ cục bộ đến không đầy đủ toàn cục). Một kết quả chuẩn của lý thuyết cấu trúc nhân quả (được dùng nhưng không suy lại ở đây) cho thấy một trắc địa null trong không-thời gian hyperbolic toàn cục không thể duy trì tính achronal — không thể ở lại biên của tương lai của một tập — sau một điểm liên hợp. Kết hợp với mặt Cauchy không compact, điều này loại trừ khả năng trắc địa vòng trở lại hay kết thúc theo cách thông thường, và buộc ít nhất một trắc địa null vuông góc với $S$ phải không đầy đủ về tương lai: nó không thể kéo dài tới tham số afin lớn tùy ý. Theo định nghĩa, tính không đầy đủ này chính là điều Penrose gọi là kỳ dị — định lý cho thấy nó phải xảy ra mà không cần giả định đối xứng nào, bất cứ khi nào một mặt bị bẫy hình thành.