Luật phân phối của giao đối với hợp

Ta chứng minh hai tập bằng nhau bằng cách chỉ ra cả hai bao hàm thức, dùng một phần tử tùy ý $x_0$ (kỹ thuật "đuổi phần tử").

(Chiều thuận, $\subseteq$) Giả sử $x_0 \in A \cap (B \cup C)$. Theo định nghĩa của giao, điều này nghĩa là $x_0 \in A$ và $x_0 \in B \cup C$. Theo định nghĩa của hợp, $x_0 \in B \cup C$ nghĩa là $x_0 \in B$ hoặc $x_0 \in C$. Xét hai trường hợp riêng. Trường hợp 1: $x_0 \in B$. Kết hợp với $x_0 \in A$, ta có $x_0 \in A \cap B$. Trường hợp 2: $x_0 \in C$. Kết hợp với $x_0 \in A$, ta có $x_0 \in A \cap C$. Trong cả hai trường hợp, $x_0$ nằm trong $x_0 \in A \cap B$ hoặc trong $x_0 \in A \cap C$, do đó $x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

(Chiều ngược, $\supseteq$) Giả sử $x_0 \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Theo định nghĩa của hợp, điều này nghĩa là $x_0 \in A \cap B$ hoặc $x_0 \in A \cap C$. Nếu $x_0 \in A \cap B$, thì $x_0 \in A$ và $x_0 \in B$, do đó $x_0 \in B \cup C$ (vì $x_0$ thuộc $B$ nên thuộc $B$ hoặc $C$), suy ra $x_0 \in A \cap (B \cup C)$. Nếu thay vào đó $x_0 \in A \cap C$, thì $x_0 \in A$ và $x_0 \in C$, do đó $x_0 \in B \cup C$, và lại suy ra $x_0 \in A \cap (B \cup C)$.

Vì mọi phần tử của vế trái đều nằm trong vế phải và ngược lại, hai tập chứa đúng cùng các phần tử, nên $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Chứng minh hoàn tất.