Mặt cầu photon và quỹ đạo tròn ổn định trong cùng

Bước 1 (đại lượng bảo toàn và phương trình xuyên tâm). Dọc theo mọi trắc địa (giống thời gian $\kappa=-c^2$, hoặc null $\kappa=0$) nằm trong mặt phẳng xích đạo $\theta=\pi/2$, việc mêtric không phụ thuộc $t$ và $\phi$ cho ta hai đại lượng bảo toàn $\tilde E = (1-r_s/r)c^2\dot t$ và $\tilde L = r^2\dot\phi$ (chấm $=d/d\tau$). Thay vào điều kiện chuẩn hóa $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\kappa$ và rút gọn, với chuyển động giống thời gian ta được $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{\tilde L^2}{r^2}\right) \equiv \tilde E^2 - V^2_{\text{eff}}(r)$$

Bước 2 (điều kiện quỹ đạo tròn). Khai triển ra $$V^2_{\text{eff}}(r) = c^2 - \frac{c^2 r_s}{r} + \frac{\tilde L^2}{r^2} - \frac{\tilde L^2 r_s}{r^3}$$ Một quỹ đạo tròn có $r$ không đổi, tức $dr/d\tau=0$ mọi lúc, đòi hỏi cả $\tilde E^2=V^2_{\text{eff}}(r)$ lẫn (để $r$ không trôi đi) $dV^2_{\text{eff}}/dr=0$: $$\frac{d}{dr}V^2_{\text{eff}} = \frac{c^2 r_s}{r^2} - \frac{2\tilde L^2}{r^3} + \frac{3\tilde L^2 r_s}{r^4} = 0$$

Bước 3 (giải ra mô men động lượng của quỹ đạo tròn). Nhân với $r^4$ rồi giải theo $\tilde L^2$ cho ta mô men động lượng cần để duy trì quỹ đạo tròn tại bán kính $r$: $$\tilde L^2(r) = \frac{c^2 r_s r^2}{2r-3r_s}$$ Điều này đã mang thông tin về mặt cầu photon: khi $r\to (3/2)r_s$ từ phía trên, mẫu số $2r-3r_s\to0^+$ và $\tilde L^2\to+\infty$ — không có mô men động lượng hữu hạn nào duy trì được quỹ đạo tròn gần đến vậy, đúng là giới hạn khối lượng bằng không (photon) đạt được ở dưới.

Bước 4 (ổn định biên — ISCO). Khi $r$ giảm từ vô cực, $\tilde L^2(r)$ trước tiên giảm, đạt cực tiểu, rồi bùng nổ tại $r=3r_s/2$; một quỹ đạo tròn ổn định đúng nơi cần $\tilde L^2$ tăng để $r$ co lại thêm (tức là dấu của $d\tilde L^2/dr$ quyết định tính ổn định). Lấy đạo hàm kết quả Bước 3, $$\frac{d\tilde L^2}{dr} = \frac{2c^2 r_s\,r(r-3r_s)}{(2r-3r_s)^2}$$ triệt tiêu tại $r=0$ (loại), $r=3r_s$, và không nơi nào khác với $r>3r_s/2$. Nghiệm trong duy nhất này là bán kính ổn định biên: $$r_{\text{ISCO}} = 3r_s = \dfrac{6GM}{c^2}$$ Với $r>3r_s$ quỹ đạo ổn định ($d\tilde L^2/dr>0$, $r$ lớn hơn cần mô men động lượng lớn hơn, như trong Kepler); với $3r_s/2<r<3r_s$ nó không ổn định.

Bước 5 (mặt cầu photon từ trắc địa null). Với trắc địa null, cùng phép thay thế với $\kappa=0$ cho ta $$\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \frac{L^2}{r^2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \equiv E^2 - V^2_{\gamma}(r)$$ với $$V^2_\gamma(r) = L^2\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right)$$ Cho đạo hàm của biểu thức trong ngoặc bằng không, $$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{r_s}{r^3}\right) = -\frac{2}{r^3}+\frac{3r_s}{r^4}=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{3r_s}{2}$$ xác định trực tiếp bán kính duy nhất của quỹ đạo tròn photon, $$r_{\text{ph}} = \dfrac{3}{2}r_s = \dfrac{3GM}{c^2}$$ khớp với giới hạn tìm thấy ở Bước 3, và nó không ổn định vì biểu thức $1/r^2-r_s/r^3$ có một cực đại địa phương, không phải cực tiểu, tại đó — bất kỳ xê dịch vào trong nào cũng làm photon xoáy vào chân trời, bất kỳ xê dịch ra ngoài nào cũng làm nó thoát ra vô cực.