Nghiệm phương trình cộng tính Cauchy

**Bước 1: Xác định $f(0)$.** Đặt $x=y=0$ trong $f(x+y)=f(x)+f(y)$: $f(0)=f(0)+f(0)$, nên $f(0)=0$.

Bước 2: Mở rộng lên số nguyên dương. Với số nguyên dương $n$, đặt $x=(n-1)$ (hoặc quy nạp): $f(n\cdot 1) = f((n-1)\cdot 1 + 1) = f((n-1)\cdot 1) + f(1)$. Theo quy nạp trên $n$, $f(n) = n f(1)$ với mọi số nguyên dương $n$ (trường hợp cơ sở $n=1$ tầm thường, bước quy nạp vừa áp dụng).

Bước 3: Mở rộng lên số nguyên âm. Đặt $y=-x$ trong $f(x+y)=f(x)+f(y)$: $f(0) = f(x) + f(-x)$, và vì $f(0)=0$, $f(-x) = -f(x)$. Kết hợp Bước 2, $f(n) = n f(1)$ với mọi số nguyên $n$ (dương, âm, hoặc không), viết $c = f(1)$.

Bước 4: Mở rộng lên số hữu tỉ. Cho $q = p/r$ với $p\in\mathbb{Z}$, $r\in\mathbb{Z}_{>0}$. Vì $r \cdot q = p$ (như số nguyên dưới phép cộng lặp, tức $q + q + \dots + q$ ($r$ lần) $= p$), áp dụng trường hợp số nguyên của Bước 2/3 cho hàm tính $r$ lần cho $f(rq) = r f(q)$ (theo cùng lập luận quy nạp dùng cho Bước 2, nay với $x=q$). Nhưng $rq = p$, nên $f(p) = r f(q)$, tức $cp = r f(q)$, tức $f(q) = c \cdot \frac{p}{r} = cq$.

Bước 5: Kết luận trường hợp hữu tỉ. Điều này chỉ ra $f(q) = cq$ với mọi $q \in \mathbb{Q}$, với $c = f(1)$ — toàn bộ hàm trên $\mathbb{Q}$ được xác định bởi giá trị tại một điểm duy nhất.

**Bước 6: Mở rộng lên $\mathbb{R}$ với liên tục.** Giả sử nay $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cộng tính và liên tục tại dù chỉ một điểm (liên tục khắp nơi khi đó suy từ cộng tính: $f(x+h)-f(x) = f(h) \to 0$ khi $h\to 0$ nếu liên tục tại $0$). Với số thực $x$ bất kỳ, lấy dãy số hữu tỉ $q_n \to x$. Theo Bước 1–5, $f(q_n) = c q_n$. Liên tục cho $f(x) = \lim_n f(q_n) = \lim_n c q_n = cx$.

**Bước 7: Mở rộng lên $\mathbb{R}$ với đơn điệu hoặc bị chặn địa phương (phác thảo).** Nếu $f$ đơn điệu, thì với số hữu tỉ $q_1 < x < q_2$ ép số thực $x$ bất kỳ, đơn điệu buộc $cq_1 \le f(x) \le cq_2$ (nếu $c>0$; ngược lại nếu $c<0$), và cho $q_1,q_2\to x$ xác định $f(x)=cx$ bằng cùng phép ép. Nếu thay vào đó $f$ bị chặn trên khoảng $I$, ta chỉ ra $f$ bị chặn gần $0$ (dùng cộng tính dịch khoảng), rồi $f(x/n)\to 0$ khi $n\to\infty$ với $x$ cố định buộc liên tục tại $0$, quy về Bước 6. Trong cả ba trường hợp chính quy (liên tục, đơn điệu, bị chặn trên khoảng), kết luận như nhau: $f(x)=cx$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.