Phương trình hàm

Định lý này là nền tảng của toàn bộ bộ công cụ phương trình hàm: nó chỉ ra một quan hệ thuần đại số, không cần giả thiết liên tục trên $\mathbb{Q}$, đã xác định hoàn toàn $f$ — và trên $\mathbb{R}$, không có giả thiết chính quy nào, tồn tại nghiệm phi tuyến kỳ dị (xây bằng cơ sở Hamel dùng Tiên đề chọn), nên giả thiết chính quy không phải chi tiết kỹ thuật mà thiết yếu.

**Bước 1: Xác định $f(0)$.** Đặt $x=y=0$ trong $f(x+y)=f(x)+f(y)$: $f(0)=f(0)+f(0)$, nên $f(0)=0$.

Bước 2: Mở rộng lên số nguyên dương. Với số nguyên dương $n$, đặt $x=(n-1)$ (hoặc quy nạp): $f(n\cdot 1) = f((n-1)\cdot 1 + 1) = f((n-1)\cdot 1) + f(1)$. Theo quy nạp trên $n$, $f(n) = n f(1)$ với mọi số nguyên dương $n$ (trường hợp cơ sở $n=1$ tầm thường, bước quy nạp vừa áp dụng).

Bước 3: Mở rộng lên số nguyên âm. Đặt $y=-x$ trong $f(x+y)=f(x)+f(y)$: $f(0) = f(x) + f(-x)$, và vì $f(0)=0$, $f(-x) = -f(x)$. Kết hợp Bước 2, $f(n) = n f(1)$ với mọi số nguyên $n$ (dương, âm, hoặc không), viết $c = f(1)$.

Bước 4: Mở rộng lên số hữu tỉ. Cho $q = p/r$ với $p\in\mathbb{Z}$, $r\in\mathbb{Z}_{>0}$. Vì $r \cdot q = p$ (như số nguyên dưới phép cộng lặp, tức $q + q + \dots + q$ ($r$ lần) $= p$), áp dụng trường hợp số nguyên của Bước 2/3 cho hàm tính $r$ lần cho $f(rq) = r f(q)$ (theo cùng lập luận quy nạp dùng cho Bước 2, nay với $x=q$). Nhưng $rq = p$, nên $f(p) = r f(q)$, tức $cp = r f(q)$, tức $f(q) = c \cdot \frac{p}{r} = cq$.

Bước 5: Kết luận trường hợp hữu tỉ. Điều này chỉ ra $f(q) = cq$ với mọi $q \in \mathbb{Q}$, với $c = f(1)$ — toàn bộ hàm trên $\mathbb{Q}$ được xác định bởi giá trị tại một điểm duy nhất.

**Bước 6: Mở rộng lên $\mathbb{R}$ với liên tục.** Giả sử nay $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cộng tính và liên tục tại dù chỉ một điểm (liên tục khắp nơi khi đó suy từ cộng tính: $f(x+h)-f(x) = f(h) \to 0$ khi $h\to 0$ nếu liên tục tại $0$). Với số thực $x$ bất kỳ, lấy dãy số hữu tỉ $q_n \to x$. Theo Bước 1–5, $f(q_n) = c q_n$. Liên tục cho $f(x) = \lim_n f(q_n) = \lim_n c q_n = cx$.

**Bước 7: Mở rộng lên $\mathbb{R}$ với đơn điệu hoặc bị chặn địa phương (phác thảo).** Nếu $f$ đơn điệu, thì với số hữu tỉ $q_1 < x < q_2$ ép số thực $x$ bất kỳ, đơn điệu buộc $cq_1 \le f(x) \le cq_2$ (nếu $c>0$; ngược lại nếu $c<0$), và cho $q_1,q_2\to x$ xác định $f(x)=cx$ bằng cùng phép ép. Nếu thay vào đó $f$ bị chặn trên khoảng $I$, ta chỉ ra $f$ bị chặn gần $0$ (dùng cộng tính dịch khoảng), rồi $f(x/n)\to 0$ khi $n\to\infty$ với $x$ cố định buộc liên tục tại $0$, quy về Bước 6. Trong cả ba trường hợp chính quy (liên tục, đơn điệu, bị chặn trên khoảng), kết luận như nhau: $f(x)=cx$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Điều này chỉ ra phương trình Jensen — trông như phát biểu thuần túy về trung điểm và trung bình — thực chất là phương trình cộng tính Cauchy đội lốt, nên toàn bộ máy móc của Định lý 1 (kể cả nghiệm phi chính quy kỳ dị và điều kiện chính quy loại trừ chúng) chuyển sang tự động.

**Bước 1: Định nghĩa $g$ và kiểm tra $g(0)=0$.** Cho $g(x) = f(x) - f(0)$. Khi đó $g(0) = f(0)-f(0) = 0$.

**Bước 2: Viết lại phương trình Jensen theo $g$.** Thay $f = g + f(0)$ vào $f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$ cho $g\left(\frac{x+y}{2}\right) + f(0) = \frac{g(x)+f(0)+g(y)+f(0)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2} + f(0)$. Các số hạng $f(0)$ triệt tiêu, còn lại $g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$ — $g$ thỏa chính xác phương trình Jensen tương tự.

Bước 3: Suy đẳng thức chia đôi. Đặt $y=0$ trong phương trình của $g$: $g\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{g(x)+g(0)}{2} = \frac{g(x)}{2}$ (dùng $g(0)=0$ từ Bước 1). Vậy $g(x/2) = g(x)/2$ với mọi $x$, tương đương $g(2u) = 2g(u)$ với mọi $u$ (thay $u=x/2$).

**Bước 4: Chuyển phương trình Jensen của $g$ thành cộng tính.** Với $x,y\in\mathbb{R}$ bất kỳ, áp dụng phương trình Jensen của $g$ cho cặp $(x,y)$: $g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$. Theo Bước 3 với $u = x+y$, vế trái bằng $g(x+y)/2$ (vì $\frac{x+y}{2}$ là chia đôi của $x+y$). Vậy $\frac{g(x+y)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2}$, và nhân cả hai vế với $2$: $g(x+y) = g(x)+g(y)$.

Bước 5: Kết luận. Đây chính xác là phương trình cộng tính Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ áp dụng cho $g$. Theo Định lý 1, nếu $g$ (tương đương $f$, vì chúng khác nhau bởi hằng số $f(0)$) liên tục, đơn điệu, hoặc bị chặn trên khoảng, thì $g(x) = cx$ với hằng số $c=g(1)=f(1)-f(0)$ nào đó. Thay lại, $f(x) = g(x) + f(0) = cx + f(0)$, nghiệm chính quy tổng quát của phương trình Jensen — hàm affine (không nhất thiết tuyến tính).