Phương trình Jensen quy về phương trình Cauchy

**Bước 1: Định nghĩa $g$ và kiểm tra $g(0)=0$.** Cho $g(x) = f(x) - f(0)$. Khi đó $g(0) = f(0)-f(0) = 0$.

**Bước 2: Viết lại phương trình Jensen theo $g$.** Thay $f = g + f(0)$ vào $f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$ cho $g\left(\frac{x+y}{2}\right) + f(0) = \frac{g(x)+f(0)+g(y)+f(0)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2} + f(0)$. Các số hạng $f(0)$ triệt tiêu, còn lại $g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$ — $g$ thỏa chính xác phương trình Jensen tương tự.

Bước 3: Suy đẳng thức chia đôi. Đặt $y=0$ trong phương trình của $g$: $g\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{g(x)+g(0)}{2} = \frac{g(x)}{2}$ (dùng $g(0)=0$ từ Bước 1). Vậy $g(x/2) = g(x)/2$ với mọi $x$, tương đương $g(2u) = 2g(u)$ với mọi $u$ (thay $u=x/2$).

**Bước 4: Chuyển phương trình Jensen của $g$ thành cộng tính.** Với $x,y\in\mathbb{R}$ bất kỳ, áp dụng phương trình Jensen của $g$ cho cặp $(x,y)$: $g\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{g(x)+g(y)}{2}$. Theo Bước 3 với $u = x+y$, vế trái bằng $g(x+y)/2$ (vì $\frac{x+y}{2}$ là chia đôi của $x+y$). Vậy $\frac{g(x+y)}{2} = \frac{g(x)+g(y)}{2}$, và nhân cả hai vế với $2$: $g(x+y) = g(x)+g(y)$.

Bước 5: Kết luận. Đây chính xác là phương trình cộng tính Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ áp dụng cho $g$. Theo Định lý 1, nếu $g$ (tương đương $f$, vì chúng khác nhau bởi hằng số $f(0)$) liên tục, đơn điệu, hoặc bị chặn trên khoảng, thì $g(x) = cx$ với hằng số $c=g(1)=f(1)-f(0)$ nào đó. Thay lại, $f(x) = g(x) + f(0) = cx + f(0)$, nghiệm chính quy tổng quát của phương trình Jensen — hàm affine (không nhất thiết tuyến tính).