Tính chất giá trị trung bình của hàm điều hòa

Không mất tính tổng quát, đặt tâm đĩa tại gốc tọa độ ($x_0 = 0$) và đặt $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$ với $0 \le r \le R$, là trung bình của $u$ trên đường tròn bán kính $r$. Ta chứng minh $\phi$ là hằng số bằng cách chỉ ra $\phi'(r) = 0$.

Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, $\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$, vì $(\cos\theta,\sin\theta)$ là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên đường tròn bán kính $r$. Nhân và chia cho $r$ biến đây thành tích phân biên đã chuẩn hóa của đạo hàm pháp tuyến trên đường tròn $\partial B_r$.

Theo định lý divergence, $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$ vì $u$ điều hòa. Do đó $\phi'(r) = 0$ với mọi $r$ trong miền, nên $\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$ với mọi $r$ như vậy: trung bình trên bất kỳ đường tròn nào tâm $x_0$ đều bằng chính $u(x_0)$, và lấy trung bình giá trị hằng số này trên $0 \le r \le R$ cho thấy trung bình trên đĩa đặc cũng bằng $u(x_0)$.