Phương trình Laplace

Một hàm điều hòa không thể thiên vị hướng nào: vì nó có độ cong ròng bằng không tại mọi điểm (tổng độ cong dọc theo trục $x$ và $y$ triệt tiêu chính xác), nó không thể phồng lên trung bình khi đi vòng quanh bất kỳ đường tròn nào có tâm tại một điểm, cũng không lõm xuống — giá trị nhất quán duy nhất cho tâm là trung bình của đường tròn.

Không mất tính tổng quát, đặt tâm đĩa tại gốc tọa độ ($x_0 = 0$) và đặt $\phi(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\cos\theta, r\sin\theta)\, d\theta$ với $0 \le r \le R$, là trung bình của $u$ trên đường tròn bán kính $r$. Ta chứng minh $\phi$ là hằng số bằng cách chỉ ra $\phi'(r) = 0$.

Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, $\phi'(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \nabla u(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot (\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\, d\theta$, vì $(\cos\theta,\sin\theta)$ là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên đường tròn bán kính $r$. Nhân và chia cho $r$ biến đây thành tích phân biên đã chuẩn hóa của đạo hàm pháp tuyến trên đường tròn $\partial B_r$.

Theo định lý divergence, $\int_{\partial B_r} \frac{\partial u}{\partial n}\, ds = \int_{B_r} \nabla^2 u \, dA = 0$ vì $u$ điều hòa. Do đó $\phi'(r) = 0$ với mọi $r$ trong miền, nên $\phi(r) = \phi(0^+) = u(x_0)$ với mọi $r$ như vậy: trung bình trên bất kỳ đường tròn nào tâm $x_0$ đều bằng chính $u(x_0)$, và lấy trung bình giá trị hằng số này trên $0 \le r \le R$ cho thấy trung bình trên đĩa đặc cũng bằng $u(x_0)$.

Tính chất giá trị trung bình nói mọi giá trị bên trong đều bằng trung bình của cả một đường tròn giá trị lân cận. Một trung bình chỉ có thể bằng giá trị lớn nhất chung nếu mọi giá trị được lấy trung bình đã bằng giá trị lớn nhất đó — nên một đỉnh cô lập thực sự bên trong là không thể: nếu tâm cao nhất có thể, toàn bộ đĩa xung quanh cũng phải cao đúng như vậy, và điều này lan ra ngoài cho tới khi chạm biên.

Giả sử $u$ đạt giá trị lớn nhất $M$ trên $\overline{\Omega}$ tại một điểm trong $x_0 \in \Omega$. Đặt $S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$; theo tính liên tục $S$ đóng trong $\Omega$, và khác rỗng vì $x_0 \in S$.

$S$ cũng mở: với bất kỳ $x_1 \in S$, chọn một đĩa nhỏ $B_r(x_1) \subset \Omega$. Tính chất giá trị trung bình cho $M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$, một trung bình của các giá trị đều $\le M$. Trung bình của các đại lượng bị chặn trên bởi $M$ chỉ có thể bằng $M$ nếu mọi đại lượng đó đều bằng $M$, nên $u \equiv M$ trên toàn đường tròn $\partial B_r(x_1)$, và áp dụng cùng lập luận cho mọi bán kính tới $r$, trên toàn đĩa $B_r(x_1)$. Do đó một lân cận của $x_1$ nằm trong $S$, nên $S$ mở.

Vì $\Omega$ liên thông và $S$ là tập con khác rỗng vừa mở vừa đóng trong $\Omega$, ta phải có $S = \Omega$, tức $u \equiv M$ trên toàn $\Omega$. Nhưng $u$ được giả sử không phải hằng số, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cực đại trong; cùng lập luận áp dụng cho $-u$ (cũng điều hòa) loại trừ cực tiểu trong, nên cả hai cực trị chỉ xảy ra trên $\partial\Omega$.