Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa

Giả sử $u$ đạt giá trị lớn nhất $M$ trên $\overline{\Omega}$ tại một điểm trong $x_0 \in \Omega$. Đặt $S = \{x \in \Omega : u(x) = M\}$; theo tính liên tục $S$ đóng trong $\Omega$, và khác rỗng vì $x_0 \in S$.

$S$ cũng mở: với bất kỳ $x_1 \in S$, chọn một đĩa nhỏ $B_r(x_1) \subset \Omega$. Tính chất giá trị trung bình cho $M = u(x_1) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(x_1 + r\cos\theta, x_1 + r\sin\theta)\, d\theta$, một trung bình của các giá trị đều $\le M$. Trung bình của các đại lượng bị chặn trên bởi $M$ chỉ có thể bằng $M$ nếu mọi đại lượng đó đều bằng $M$, nên $u \equiv M$ trên toàn đường tròn $\partial B_r(x_1)$, và áp dụng cùng lập luận cho mọi bán kính tới $r$, trên toàn đĩa $B_r(x_1)$. Do đó một lân cận của $x_1$ nằm trong $S$, nên $S$ mở.

Vì $\Omega$ liên thông và $S$ là tập con khác rỗng vừa mở vừa đóng trong $\Omega$, ta phải có $S = \Omega$, tức $u \equiv M$ trên toàn $\Omega$. Nhưng $u$ được giả sử không phải hằng số, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cực đại trong; cùng lập luận áp dụng cho $-u$ (cũng điều hòa) loại trừ cực tiểu trong, nên cả hai cực trị chỉ xảy ra trên $\partial\Omega$.