Nguyên lý cực đại yếu cho phương trình nhiệt

Cố định $\varepsilon>0$ và đặt $v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$, khi đó $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$ tại mọi điểm trên hình chữ nhật mở. Giả sử, để phản chứng, rằng $v$ đạt giá trị lớn nhất trên hình chữ nhật đóng tại một điểm trong $(x_0,t_0)$ với $0<x_0<L$ và $0<t_0\le T$ — tức là nằm ngoài biên parabolic.

Vì $x_0$ là điểm cực đại trong theo không gian, kiểm tra đạo hàm cấp hai cho $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$. Vì $t_0$ là nơi đạt giá trị lớn nhất theo $t\in[0,T]$ (hoặc là thời điểm tới hạn trong, cho $v_t(x_0,t_0)=0$, hoặc là điểm cuối $t_0=T$ tiệm cận từ bên trái, cho $v_t(x_0,t_0)\ge 0$), trong cả hai trường hợp ta đều có $v_t(x_0,t_0)\ge 0$.

Kết hợp hai bất đẳng thức, $v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$, mâu thuẫn với $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ tại mọi điểm. Vậy không tồn tại điểm cực đại trong như thế, nên giá trị lớn nhất của $v$ nằm trên biên parabolic $\Gamma$ (cạnh đầu cùng hai cạnh bên), cho $u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$ tại mọi điểm. Cho $\varepsilon \to 0^+$ ta chứng minh được nguyên lý cực đại cho chính $u$.