Phương trình nhiệt

Các hàm sin với tần số đặc biệt này chính là những hình dạng giữ nhiệt độ bằng không ở hai đầu trong khi suy giảm độc lập theo thời gian; vì mọi biên dạng ban đầu hợp lý đều viết được thành tổng các sóng sin như vậy (chuỗi Fourier sin), cùng một phép phân tích đó lập tức cho nghiệm ở mọi thời điểm sau.

Tìm nghiệm dạng tách biến $u(x,t)=X(x)T(t)$. Thay vào $u_t = \alpha u_{xx}$ ta được $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$, chia hai vế cho $\alpha X(x)T(t)$ để tách biến: $\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$, trong đó $\lambda$ phải là hằng số vì vế trái chỉ phụ thuộc $t$ còn vế phải chỉ phụ thuộc $x$.

Điều kiện biên $u(0,t) = u(L,t) = 0$ buộc $X(0)=X(L)=0$. Bài toán giá trị riêng $X'' + \lambda X = 0$ với điều kiện biên này chỉ có nghiệm không tầm thường khi $\lambda_n = (n\pi/L)^2$, $n=1,2,3,\dots$, với hàm riêng $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$; mọi giá trị $\lambda$ khác đều buộc $X \equiv 0$. Giải $T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ ta được $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$.

Mỗi tích $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ đều thỏa phương trình và điều kiện biên. Theo tính tuyến tính, tổng hữu hạn hoặc (với điều kiện hội tụ nhẹ) tổng vô hạn $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ cũng thỏa. Cho $t=0$ và dùng hệ thức trực giao $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$ với $n \ne m$ (và $=L/2$ khi $n=m$) để chiếu $f(x)$ lên từng mode, ta thu được đúng hệ số $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$, do đó điều kiện đầu $u(x,0) = f(x)$ được khớp theo từng số hạng.

Nhiệt không có nguồn nào khác ngoài dữ liệu ban đầu và nhiệt độ biên: nếu một điểm trong ẩn giấu nào đó là điểm nóng nhất duy nhất tại một thời điểm sau, nhiệt phải được sinh ra một cách tự phát ở đó, điều mà quá trình khuếch tán không cho phép — khuếch tán chỉ chuyển nhiệt từ nóng sang lạnh, không bao giờ tạo ra đỉnh mới giữa khoảng trống.

Cố định $\varepsilon>0$ và đặt $v(x,t) = u(x,t) - \varepsilon t$, khi đó $v_t - \alpha v_{xx} = u_t - \varepsilon - \alpha u_{xx} = -\varepsilon < 0$ tại mọi điểm trên hình chữ nhật mở. Giả sử, để phản chứng, rằng $v$ đạt giá trị lớn nhất trên hình chữ nhật đóng tại một điểm trong $(x_0,t_0)$ với $0<x_0<L$ và $0<t_0\le T$ — tức là nằm ngoài biên parabolic.

Vì $x_0$ là điểm cực đại trong theo không gian, kiểm tra đạo hàm cấp hai cho $v_{xx}(x_0,t_0)\le 0$. Vì $t_0$ là nơi đạt giá trị lớn nhất theo $t\in[0,T]$ (hoặc là thời điểm tới hạn trong, cho $v_t(x_0,t_0)=0$, hoặc là điểm cuối $t_0=T$ tiệm cận từ bên trái, cho $v_t(x_0,t_0)\ge 0$), trong cả hai trường hợp ta đều có $v_t(x_0,t_0)\ge 0$.

Kết hợp hai bất đẳng thức, $v_t(x_0,t_0) - \alpha v_{xx}(x_0,t_0) \ge 0 - \alpha\cdot 0 = 0$, mâu thuẫn với $v_t-\alpha v_{xx}=-\varepsilon<0$ tại mọi điểm. Vậy không tồn tại điểm cực đại trong như thế, nên giá trị lớn nhất của $v$ nằm trên biên parabolic $\Gamma$ (cạnh đầu cùng hai cạnh bên), cho $u(x,t) \le \varepsilon t + \max_{\Gamma} u$ tại mọi điểm. Cho $\varepsilon \to 0^+$ ta chứng minh được nguyên lý cực đại cho chính $u$.