Sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp tách biến

Tìm nghiệm dạng tách biến $u(x,t)=X(x)T(t)$. Thay vào $u_t = \alpha u_{xx}$ ta được $X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t)$, chia hai vế cho $\alpha X(x)T(t)$ để tách biến: $\dfrac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \dfrac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$, trong đó $\lambda$ phải là hằng số vì vế trái chỉ phụ thuộc $t$ còn vế phải chỉ phụ thuộc $x$.

Điều kiện biên $u(0,t) = u(L,t) = 0$ buộc $X(0)=X(L)=0$. Bài toán giá trị riêng $X'' + \lambda X = 0$ với điều kiện biên này chỉ có nghiệm không tầm thường khi $\lambda_n = (n\pi/L)^2$, $n=1,2,3,\dots$, với hàm riêng $\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$; mọi giá trị $\lambda$ khác đều buộc $X \equiv 0$. Giải $T'(t) = -\alpha\lambda_n T(t)$ ta được $T_n(t) = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$.

Mỗi tích $u_n(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ đều thỏa phương trình và điều kiện biên. Theo tính tuyến tính, tổng hữu hạn hoặc (với điều kiện hội tụ nhẹ) tổng vô hạn $u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ cũng thỏa. Cho $t=0$ và dùng hệ thức trực giao $\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L})\,dx = 0$ với $n \ne m$ (và $=L/2$ khi $n=m$) để chiếu $f(x)$ lên từng mode, ta thu được đúng hệ số $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$, do đó điều kiện đầu $u(x,0) = f(x)$ được khớp theo từng số hạng.