Định lý số nguyên tố

Chứng minh này là một bản phác thảo lô-gic của con đường giải tích, không phải một suy diễn tự chứa — nó cần giải tích phức được giới thiệu sau này trong chương trình (xem chủ đề hàm zeta Riemann để biết chi tiết). Lập luận có ba giai đoạn.

Giai đoạn 1 (quy về θ): một lập luận tổng từng phần quen thuộc cho thấy $\pi(x) \sim x/\log x$ tương đương $\theta(x) \sim x$, với $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ như trong chặn Chebyshev ở trên.

Giai đoạn 2 (mã hóa θ qua ζ): công thức tường minh của Riemann biểu diễn $\theta(x)$ (chính xác hơn là $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$ gần gũi) gần như chính xác qua các không điểm của $\zeta(s)=\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$: số hạng chính $x$ đến từ cực đơn của $\zeta$ tại $s=1$, và mỗi không điểm $\rho=\beta+i\gamma$ của $\zeta$ đóng góp một số hạng sai số dao động cỡ $x^{\beta}$.

Giai đoạn 3 (sự kiện không triệt tiêu then chốt): $\psi(x)\sim x$ — và do đó định lý — đúng khi và chỉ khi không không điểm nào có $\beta=1$, tức $\zeta(1+it) \ne 0 \text{ for all } t \in \mathbb{R}$. Hadamard và de la Vallée Poussin chứng minh sự không triệt tiêu này độc lập vào năm 1896, dùng một bất đẳng thức lượng giác sơ cấp ($3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$) áp dụng cho $\log|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|$ khi $\sigma\to1^+$: một không điểm tại $1+it$ sẽ buộc biểu thức này về $-\infty$, điều bất đẳng thức cấm. Chứng minh năm 1980 của Newman rút gọn hệ quả của Giai đoạn 3 thành một lập luận Tauberian ngắn gọn, nhưng khung lô-gic — cực tại $1$, không điểm ở nơi khác, không triệt tiêu trên đường $\operatorname{Re}(s)=1$ — chính xác như Riemann và Hadamard đã đặt ra.