素数定理

在阿达马与德拉瓦莱·普桑1896年的解析证明之前，切比雪夫（1852年）已经仅用二项式系数初等地证明了质数个数被夹在 x/log x 的常数倍范围内。这个界是后来任何完整定理证明的关键初等要素，其核心二项式系数技巧正是埃尔德什著名的伯特兰假设初等证明背后所用的技巧。

对 $n$ 用强归纳法。基础情形 $n=1,2$ 显然：$\theta(1)=0$，$\theta(2)=\log 2 < \log 4$。

归纳步骤中，假设该界对所有小于 $n$ 的正整数成立。若 $n>2$ 为偶数，则 $n$ 不是质数，对 $n-1$ 用归纳假设得 $\theta(n)=\theta(n-1) < (\log4)(n-1) < (\log4)n$。

若 $n=2m+1$ 为奇数，考虑系数 $\binom{2m+1}{m}=\dfrac{(2m+1)!}{m!\,(m+1)!}$。它在 $(1+1)^{2m+1}$ 二项展开的 $2^{2m+1}$ 项中出现两次（一次为 $\binom{2m+1}{m}$，一次为 $\binom{2m+1}{m+1}$，二者相等），故 $2\binom{2m+1}{m} \le 2^{2m+1}$，即 $\binom{2m+1}{m} \le 4^m$。

每个满足 $m+1 < p \le 2m+1$ 的质数 $p$ 整除分子 $(2m+1)!$，但不整除 $m!$ 或 $(m+1)!$（因为 $p>m+1$），故 $p$ 整除 $\binom{2m+1}{m}$。因此所有这样的质数之积整除 $\binom{2m+1}{m}$，得 $\prod_{m+1<p\le 2m+1} p \le \binom{2m+1}{m} \le 4^m$，即 $\theta(2m+1)-\theta(m+1) \le (\log 4)\,m$。

对 $m+1<n$ 用归纳假设得 $\theta(m+1) < (\log4)(m+1)$。相加得 $\theta(n)=\theta(2m+1) < (\log4)(m+1) + (\log4)m = (\log4)(2m+1) = (\log4)n$，归纳完成。

上面的切比雪夫界把 π(x) 夹在 x/log x 的常数倍范围内，但"渐近于"是一个强得多的断言：比值 π(x)/(x/log x) 必须恰好趋于1，而不仅仅是有界。把这一差距从"有界"缩小到"恰好为1"，需要一个完全不同的想法——黎曼1859年的洞见，即质数的分布被编码在zeta函数 ζ(s) 的复零点之中。

这个证明只是解析路径的逻辑框架，并非自足的推导——它需要课程更靠后才会引入的复分析（详情见黎曼zeta函数专题）。论证分三个阶段。

阶段1（归约到θ）：一个常规的分部求和论证表明 $\pi(x) \sim x/\log x$ 等价于 $\theta(x) \sim x$，其中 $\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ 与上面切比雪夫界中的相同。

阶段2（用ζ编码θ）：黎曼的显式公式把 $\theta(x)$（更准确地说是相近的 $\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$）几乎精确地用 $\zeta(s)=\sum_n n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ 的零点表示出来：主项 $x$ 来自 $\zeta$ 在 $s=1$ 处的单极点，而 $\zeta$ 的每个零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 都贡献一个大小约为 $x^{\beta}$ 的振荡误差项。

阶段3（关键的不消失事实）：$\psi(x)\sim x$——从而定理成立——当且仅当没有零点满足 $\beta=1$，即 $\zeta(1+it) \ne 0 \text{ for all } t \in \mathbb{R}$。阿达马与德拉瓦莱·普桑于1896年各自独立地证明了这一不消失性，方法是把一个初等三角不等式（$3+4\cos\theta+\cos2\theta\ge0$）应用于 $\sigma\to1^+$ 时的 $\log|\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|$：若 $1+it$ 处有零点，该式会被迫趋于 $-\infty$，而不等式不允许这种情况。纽曼1980年的证明把阶段3的后果压缩成一个简短的陶伯型论证，但逻辑骨架——$1$ 处的极点、别处的零点、直线 $\operatorname{Re}(s)=1$ 上的不消失性——正是黎曼与阿达马所给出的。